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动点问题2012年中考压轴题(带答案)

2012年全国中考数学(续61套)压轴题分类解析汇编

专题01：动点问题

25. (2012吉林长春10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD-DE-EB运动，到点B停止.点P在AD上以 cm/s的速度运动，在折线DE-EB上以1cm/s的速度运动.当点P与点A不重合时，过点P作

PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上.设点P的运动时间为t(s).

(1)当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,(用含t的代数式表示).

(2)当点N落在AB边上时，求t的值.

(3)当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S(cm²)，求S与t的函数关系式.

(4)连结CD.当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动;当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处.直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围.

【答案】解：(1)t-2。

(2)当点N落在AB边上时，有两种情况：

①如图(2)a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t-2=2，t=4。

②如图(2)b，此时点P位于线段EB上.

∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s，

∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。

∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。

由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t= 。

综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t= 。

(3)当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况：

①当2

DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-(t-2)=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t。

∵MN∥BC，∴△AFM∽△ABC。∴FM：BC = AM：AC=1：2，即FM：AM=BC：AC=1：2。

∴FM= AM= t.

∴

。

②当

PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，

∴FM= AM=6- t，PG=2PB=16-2t，

∴

。

综上所述，S与t的关系式为： 。

(4)在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围是：t= 或t=5或

6≤t≤8。

【考点】动点问题上，相似形综合题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，梯形和三角形的面积。

【分析】(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，∴由勾股定理得AB= cm。

∵D为边AB的中点，∴AD= cm。

又∵点P在AD上以 cm/s的速度运动，∴点P在AD上运动的时间为2s。

∴当点P在线段DE上运动时，在线段DP上的运动的时间为t-2s。

又∵点P在DE上以1cm/s的速度运动，∴线段DP的长为t-2 cm。

(2)当点N落在AB边上时，有两种情况，如图(2)所示，利用运动线段之间的数量关系求出时间t的值。

(3)当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如图(3)所示，分别用时间t表示各相关运动线段的长度，然后利用 求出面积S的表达式。

(4)本问涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄清点H、点P的运动过程：

依题意，点H与点P的运动分为两个阶段，如下图所示：

①当4

此阶段点P运动时间为2s，因此点H运动距离为2.5×2=5cm，而MN=2，

则此阶段中，点H将有两次机会落在线段CD上：

第一次：此时点H由M→H运动时间为(t-4)s，运动距离MH=2.5(t-4)，

∴NH=2-MH=12-2.5t。

又DP=t-2，DN=DP-2=t-4，

由DN=2NH得到：t-4=2(12-2.5t)，解得t= 。

第二次：此时点H由N→H运动时间为t-4- =(t-4.8)s，运动距离NH=2.5(t-4.8)=2.5t-12，

又DP=t-2，DN=DP-2=t-4，

由DN=2NH得到：t-4=2(2.5t-12)，解得t=5。

②当6≤t≤8时，此时点P在线段EB上运动，如图(4)b所示。

由图可知，在此阶段，始终有MH= MC，即MN与CD的交点始终为线段MN的中点，即点H。

综上所述，在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围是：t= 或t=5或6≤t≤8。

26. (2012黑龙江哈尔滨10分)如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，四边形ABCO是平行四边形，直线y=-x+m经过点C，交x轴于点D.

(1)求m的值;

(2)点P(0，t)是线段OB上的一个动点(点P不与0，B两点重合)，过点P作x轴的平行线，分别交AB，0c，DC于点E，F，G.设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式 (直接写出自变量t的取值范围); (3)在(2)的条件下，点H是线段OB上一点，连接BG交OC于点M，当以OG为直径的圆经过点M时，恰好使∠BFH=∠ABO.求此时t的值及点H的坐标.

【答案】解：(1)如图，过点C作CK⊥x轴于K，

∵y=2x+4交x轴和y轴于A，B，

∴A(-2，0)B(0，4)。∴OA=2，OB=4。

∵四边形ABCO是平行四边形，∴BC=OA=2 。

又∵四边形BOKC是矩形，

∴OK=BC=2，CK=OB=4。∴C(2，4)。

将C(2，4)代入y=-x+m得，4=-2+m，解得m=6。

(2)如图，延长DC交y轴于N，分别过点E，G作x轴的垂线 垂足分别是R，Q，则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP是矩形。

∴ER=PO=CQ=1。

∵ ，即 ，∴AR= t。

∵y=-x+6交x轴和y轴于D，N，∴OD=ON=6。

∴∠ODN=45°。

∵ ，∴DQ=t。

又∵AD=AO+OD=2+6=8，∴EG=RQ=8- t-t=8- t。

∴d=- t+8(0

(3)如图，∵四边形ABCO是平行四边形，

∴AB∥OC。∴∠ABO=∠BOC。

∵BP=4-t，

∴ 。

∴EP= 。

由(2)d=- t+8，∴PG=d-EP=6-t。

∵以OG为直径的圆经过点M，∴∠OMG=90°，∠MFG=∠PFO。∴∠BGP=∠BOC。

∴ 。∴ ，解得t=2。

∵∠BFH=∠ABO=∠BOC，∠OBF=∠FBH，∴△BHF∽△BFO。

∴ ，即BF2=BH•BO。

∵OP=2，∴PF=1，BP=2。∴ 。

∴ =BH×4。∴BH= 。∴HO=4- 。

∴H(0， )。

【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形和矩形的性质，平行的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)根据直线y=2x+4求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再根据平行四边形的对边相等求出BC的长度，过点C作CK⊥x轴于K，从而得到四边形BOKC是矩形，根据矩形的对边相等求出KC的长度，从而得到点C的坐标，然后把点C的坐标代入直线即可求出m的值。

(2)延长DC交y轴于N分别过点E，G作x轴的垂线 垂足分别是R，Q则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP是矩形，再利用∠BAO的正切值求出AR的长度，利用∠ODN的正切值求出DQ的长度，再利用AD的长度减去AR的长度，再减去DQ的长度，计算即可得解。

(3)根据平行四边形的对边平行可得AB∥OC，再根据平行线内错角相等求出∠ABO=∠BOC，用t表示出BP，再根据∠ABO与∠BOC的正切值相等列式求出EP的长度，再表示出PG的长度，然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠OMC=90°，根据直角推出∠BGP=∠BOC，再利用∠BGP与∠BOC的正切值相等列式求解即可得到t的值;先根据加的关系求出∠OBF=∠FBH，再判定△BHF和△BFO相似，根据相似三角形对应边成比例可得 ，再根据t=2求出OP=2，PF=1，BP=2，利用勾股定理求出BF的长度，代入数据进行计算即可求出BH的值，然后求出HO的值，从而得到点H的坐标。

27. (2012湖南永州10分)在△ABC中，点P从B点开始出发向C点运动，在运动过程中，设线段AP的长为y，线段BP的长为x(如图甲)，而y关于x的函数图象如图乙所示.Q(1， )是函数图象上的最低点.请仔细观察甲、乙两图，解答下列问题.

(1)请直接写出AB边的长和BC边上的高AH的长;

(2)求∠B的度数;

(3)若△ABP为钝角三角形，求x的取值范围.

【答案】解：(1)AB=2;AH= 。

(2)在Rt△ABH中，AH= ，BH=1，tan∠B= ，∴∠B=60°。

(3)①当∠APB为钝角时，此时可得x<1;

②当∠BAP为钝角时，

过点A作AP⊥AB交BC于点P。

则 ，∴当4

综上所述，当x<1或4

【考点】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】(1)当x=0时，y的值即是AB的长度，故AB=2;，图乙函数图象的最低点的y值是AH的值，故AH= 。

(2)当点P运动到点H时，此时BP(H)=1，AH= ，在Rt△ABH中，可得出∠B的度数。

(3)分两种情况进行讨论，①∠APB为钝角，②∠BAP为钝角，分别确定x的范围即可。

28. (2012湖南衡阳10分)如图，A、B两点的坐标分别是(8，0)、(0，6)，点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO(O为坐标原点)方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t(0

(1)当t为何值时，PQ∥BO?

(2)设△AQP的面积为S，

①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值;

②若我们规定：点P、Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则新坐标(x2﹣x1，y2﹣y1)称为“向量PQ”的坐标.当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标.

【答案】解：(1)∵A、B两点的坐标分别是(8，0)、(0，6)，则OB=6，OA=8。

∴ 。

如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t。

∵PQ∥BO，∴ ，即 ，解得t= 。

∴当t= 秒时，PQ∥BO。

(2)由(1)知：OA=8，OB=6，AB=10.

①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO。

∴△APD∽△ABO。

∴ ，即 ，解得PD=6﹣ t。

∴ 。

∴S与t之间的函数关系式为：S= (0

∴当t= 秒时，S取得最大值，最大值为5(平方单位)。

②如图②所示，当S取最大值时，t= ，

∴PD=6﹣ t=3，∴PD= BO。

又PD∥BO，∴此时PD为△OAB的中位线，则OD= OA=4。∴P(4，3)。

又AQ=2t= ，∴OQ=OA﹣AQ= ，∴Q( ，0)。

依题意，“向量PQ”的坐标为( ﹣4，0﹣3)，即( ，﹣3).

∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为( ，﹣3)。

【考点】动点问题，平行线分线段成比例，二次函数的最值，勾股定理，三角形中位线定理。

【分析】(1)如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式 ，求出t的值。

(2)①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD∥BO，由△APD∽△ABO得 求得PD，从而S可求出.S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值。

②求出点P、Q的坐标：当S取最大值时，可推出此时PD为△OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标;求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义(x2﹣x1，y2﹣y1)，即可求解。

29. (2012湖南株洲8分)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米.M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒;同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒.运动时间为t秒.

(1)当t为何值时，∠AMN=∠ANM?

(2)当t为何值时，△AMN的面积最大?并求出这个最大值.

【答案】解：(1)∵从C向A运动，速度为1米/秒;同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒，运动时间为t秒，

∴AM=12﹣t，AN=2t。

∵∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，即12﹣t=2t，解得：t=4 秒。

∴当t为4时，∠AMN=∠ANM。

(2)如图作NH⊥AC于H，

∴∠NHA=∠C=90°。∴NH∥BC。

∴△ANH∽△ABC。

∴ ，即 。∴NH= 。

∴ 。

∴当t=6时，△AMN的面积最大，最大值为 。

【考点】动点问题，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。

【分析】(1)用t表示出AM和AN的值，根据AM=AN，得到关于t的方程求得t值即可。

(2)作NH⊥AC于H，证得△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，从而计算其面积得到有关t的二次函数求最值即可。

30. (2012湖南湘潭10分)如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=AB，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合)，过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点.

(1)如图1，求证：△PCD∽△ABC;

(2)当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC?请在图2中画出△PCD并说明理由;

(3)如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数.

【答案】解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。

∵PD⊥CD，∴∠D=90°。∴∠D=∠ACB。

∵∠A与∠P是 所对的圆周角，∴∠A=∠P，∴△PCD∽△ABC。

(2)当PC是⊙O的直径时，△PCD≌△ABC。理由如下：

∵AB，PC是⊙O的半径，∴AB=PC。

∵△PCD∽△ABC，∴△PCD≌△ABC。

画图如下：

(3)∵∠ACB=90°，AC=AB，∴∠ABC=30°。

∵△PCD∽△ABC，∴∠PCD=∠ABC=30°。

∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径，∴ 。∴∠ACP=∠ABC=30°。

∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°。

【考点】圆周角定理，全等三角形的判定，垂径定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)由AB是⊙O的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由PD⊥CD，可得∠D=∠ACB，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠P，根据有两角对应相等的三角形相似，即可判定：△PCD∽△ABC。

(2)由△PCD∽△ABC，可知当PC=AB时，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得。

(3)由∠ACB=90°，AC=AB，可求得∠ABC的度数，然后利用相似，即可得∠PCD的度数，又由垂径定理，求得 ，然后利用圆周角定理求得∠ACP的度数，从而求得答案。

31. (2012福建漳州14分)如图，在 OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60o，OC=4cm.OA=8cm.动

点P从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OA→AB运动;动点Q同时从点O出发，以

acm/s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动.

设运动时间为t秒.

(1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm;

(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大?

(3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围.

【答案】解：(1)C(2，2 )，OB=4 cm。

(2)①当0

过点Q作QD⊥x轴于点D(如图1)，则QD= t。

∴S= OP•QD= t2。

②当4

作QE⊥x轴于点E(如图2)，则QE=2 。

∴S = DP•QE= t。

③当8