考点： 四边形综合题

分析： (1)证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN;

(2)①首先证明△AFE∽△CDE，利用比例式求出时间t= a，进而得到CM= a= CD，所以该命题为真命题;

②若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形，需要分类讨论.

解答： (1)证明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，

∴∠ADF=∠DCN.

在△ADF与△DNC中，

，

∴△ADF≌△DNC(ASA)，

∴DF=MN.

(2)解：①该命题是真命题.

理由如下：当点F是边AB中点时，则AF= AB= CD.

∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，

∴ ，

∴AE= EC，则AE= AC= a，

∴t= = a.

则CM=1•t= a= CD，

∴点M为边CD的三等分点.

②能.理由如下：

易证AFE∽△CDE，∴ ，即 ，得AF= .

易证△MND∽△DFA，∴ ，即 ，得ND=t.

∴ND=CM=t，AN=DM=a﹣t.

若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：

(I)若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM，

∴AF=DM，即 =t，得t=0，不合题意.

∴此种情形不存在;

(II)若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，

∴t= a，此时点F与点B重合;

(III)若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：

易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a﹣t;

又由△NDM∽△DCF，∴ ，即 ，∴FC= .

∴ =a﹣t，

∴t=a，此时点F与点C重合.

综上所述，当t=a或t= a时，△MNF能够成为等腰三角形.

点评： 本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点.解题要点是：(1)明确动点的运动过程;(2)明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系;(3)运用分类讨论的数学思想，避免漏解.

38、(2013杭州压轴题)如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1.

(1)求证：∠APE=∠CFP;

(2)设四边形CMPF的面积为S2，CF=x， .

①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值;

②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值.

考点：四边形综合题.

分析：(1)利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论;

(2)本问关键是求出y与x之间的函数解析式.

①首先分别用x表示出S1与S2，然后计算出y与x的函数解析式.这是一个二次函数，求出其最大值;

②注意中心对称、轴对称的几何性质.

解答：(1)证明：∵∠EPF=45°，

∴∠APE+∠FPC=180°﹣45°=135°;

而在△PFC中，由于PF为正方形ABCD的对角线，则∠PCF=45°，

则∠CFP+∠FPC=180°﹣45°=135°，

∴∠APE=∠CFP.

(2)解：①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°，

∴△APE∽△CPF，则 .

而在正方形ABCD中，AC为对角线，则AC= AB= ，

又∵P为对称中心，则AP=CP= ，

∴AE= = =.

如图，过点P作PH⊥AB于点H，PG⊥BC于点G，

P为AC中点，则PH∥BC，且PH=BC=2，同理PG=2.

S△APE= =×2×=，

∵阴影部分关于直线AC轴对称，

∴△APE与△APN也关于直线AC对称，

则S四边形AEPN=2S△APE= ;

而S2=2S△PFC=2× =2x，

∴S1=S正方形ABCD﹣S四边形AEPN﹣S2=16﹣ ﹣2x，

∴y= = = +﹣1.

∵E在AB上运动，F在BC上运动，且∠EPF=45°，

∴2≤x≤4.

令=a，则y=﹣8a2+8a﹣1，当a= =，即x=2时，y取得最大值.

而x=2在x的取值范围内，代入x=2，则y最大=4﹣2﹣1=1.

∴y关于x的函数解析式为：y= +﹣1(2≤x≤4)，y的最大值为1.

②图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称，

而此两块图形也关于直线AC成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线BD对称，

则EB=BF，即AE=FC，

∴=x，解得x= ，

代入x= ，得y= ﹣2.

点评：本题是代数几何综合题，考查了正方形的性质、相似三角形、二次函数的解析式与最值、几何变换(轴对称与中心对称)、图形面积的计算等知识点，涉及的考点较多，有一定的难度.本题重点与难点在于求出y与x的函数解析式，在计算几何图形面积时涉及大量的计算，需要细心计算避免出错.

总结：2013数学初三月考试卷就为大家介绍到这里了，希望对大家备战中考有所帮助，祝同学们考入自己理想的高中院校!

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