四、解答题(本题共20分， 每小题5分)

19. 将一副三角板如图拼接：含30°角的三角板(△ABC)的长直角边与含45°角的三角板(△ACD)的斜边恰好重合.已知AB=2 ，P是AC上的一个动点，连接DP.

(1)当点P运动到∠ABC的平分线上时，求DP的长;

(2)当点P在运动过程中出现PD=BC时，求此时∠PDA的度数;

20.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与A B的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

(1)求证：PC是⊙O的切线;

(2)点M是 弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN•MC的值.

21.我区开展“体育、艺术2+1”活动，各校学生坚持每天锻炼，某校根据实际情况，决定主要开设A：乒乓球，B：篮球，C：跑步，D：跳绳四种运动项目.为了解学生最喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图.请你结合图中信息解答下列问题：

(1)样本中最喜欢B项目的人数

百分比是      ，其所在扇形图

中的圆心角的度数是      ;

(2)请把条形统计图补充完整;

(3)已知该校有1000人，请根据

样本估计全校最喜欢乒乓球的人数是多少?

22. 理解与应用：

我们把对称中心重合、四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等.

一条直线l与方形环的边线有四个交点 、 、 、 .小明在探究线段 与  的数量关系时，从点 、 向对边作垂线段 、 ，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题.请你参考小明的思路解答下列问题：

(1)直线l与方形环的对边相交时(22题图1)，直线l分别交 、 、 、 于 、 、 、 ，小明发现 与 相等，请你帮他说明理由;

(2)直线l与方形环的邻边相交时(22题图2)，l分别交 、 、 、 于 、 、 、 ，l与 的夹角为 ，请直接写出 的值(用含 的三角函数表示).

五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)

23. 已知关于x的方程 .

(1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实 数根;

(2)若二次函数 的图象与 轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，求k值;

(3)在(2)的条件下，设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围.

24. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC,AB=AN,连结CD、BN,CD的延长线交BN于点F.

(1)当∠ADN等于多少度时，∠ACE=∠EBF,并说明理由;

(2)在(1)的条件下，设∠ABC= ，∠CAD = ，试探索 、 满足什么关系时，△ACE≌△FBE，并说明理由.

25.已知二次函数 ( )的图象经过点 ， ， ，直线 ( )与 轴交于点D.

(1)求二次函数的解析式;

(2)在直线 ( )上有一点 (点 在第四象限)，使得 为顶点的三角形与以 为顶点的三角形相似，求 点坐标(用含 的代数式表示);

(3)在(2)成立的条件下，抛物线上是否存在一点 ，使得四边形 为平行四边形?若存在，请求出 的值及四边形 的面积;若不存在，请说明理由.

总结：以上就是中考一模数学试题的内容，希望能帮助同学们找到技巧复习，在中考时发挥最好的水平！

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