23. (本题满分8分)

如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，  .(1)求证：直线PB 是⊙O的切线;(2)求cos∠BCA的值

24. (本题满分10分)

如图所示，抛物线m：y=ax2+b(a<0，b>0)与x轴于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1.

(1)当a=-1 , b=1时，求抛物线n的解析式;

(2)四边形AC1A1C是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由;

(3)若四边形AC1A1C为矩形，请求出a和b应满足的关系式.

25.(本题满分12分)

已知菱形ABCD的边长为1.∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。

(1)特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点.求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心;

(2)若点E、F始终分别在边DC、CB上移动.记等边△AEF的外心为点P.

①猜想验证：如图2.猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明;

②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断 是否为定值.若是.请求出该定值;若不是.请说明理由。

参考答案

一.选择题

1. D

2. C

3. B

4.  C

5. A

6. D

7. D

8. C

9. A

10.C

二.填空题

11. x>

12.  32°

13.如果a、b、c是一个三角形的三条边，并且 ，那么这个三角形是直角三角形.

14. 128

15.-24或-48

16. 3.75【解析】本题考查三角形的相似，直角三角形和正方形的面积.由题意易知：△ABC∽△ADE∽△AGF,相似比为2：5：10，所以面积比为4：25：100. △AGF的面积为(5×10)÷2=25，△ADE的面积为6.25，△ABC的面积为1，所以四边形BCED的面积为6.25-1=5.25，图中阴影部分面积3×3-5.25=3.75

三.解答题

17. 解：原式=

= =   =

=  = .

∴当m= 时，原式= .

18. 证明 ∵在△ABC中，AD是中线，∴BD=CD，∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠CFD=∠BED=90° ，在△BED与△CFD中，∵∠BED=∠CFD，∠BDE=∠CDF，BD=CD，∴△BED≌△CFD，∴BE=CF.

19. 解：(1)200;

(2) (人).画图正确.

(3)C所占圆心角度数 .

(4)80000×(25%+60%)=68000

∴估计我市初中生中大约有68000名学生学习态度达标.

20.解：设CE=xm，则由题意可知BE=xm，AE=(x+100)m.

在Rt△AEC中，tan∠CAE= ，即tan30°=

∴ ，3x= (x+100)

解得x=50+50 =136.6

∴CD=CE+ED=(136.6+1.5)=138.1≈138(m)

答：该建筑物的高度约为138m.