27. 解：(1)∵直线 经过点 且 ，

1分

即  2分

(2)如图1假设存在ON平分∠CNM的情况

①当直线PM与边BC和边OA相交时，过O作OH⊥PM于H

∵ON平分∠CNM，OC⊥BC，

∴OH=OC=6

由(1)知OP=12，∴∠OPM=30°

∴OM=OP•tan30°=

; 4分

②当直线PM与直线BC和x轴相交时

同上可得 (或由OM=MN解得); 6分

(3)如图2假设沿DE将矩形OABC折叠，点O落在边BC上O′处连接PO′、OO′，则有PO′=OP

由(1)得BC垂直平分OP，∴PO′=OO′

∴△OPO′为等边三角形，∴∠OPD=30°

而由(2)知∠OPD>30°

所以沿DE将矩形OABC折叠，点O不可能落在边BC上 7分

如图3设沿直线 将矩形OABC折叠，点O恰好落在边BC上O′处

连接P′O′、OO′，则有P′O′=OP′=a

由题意得：CP′=a﹣6，∠OPD=∠AO′O

在Rt△OPD中，

在Rt△OAO′中，

即

在Rt△AP′O′中，由勾股定理得：

解得

所以将直线 沿y轴向下平移 个单位得直线 ，将矩形OABC沿直线 折叠，点O恰好落在边BC上. 9分

28. 解：(1)由抛物线的对称轴是 ，可设解析式为 . 1分

把A、B两点坐标代入上式，得

1分

解之，得

故抛物线解析式为  (或 . 2分

当 时， , ∴C(1，0)  3分

(2)   4分

(3)①根据题意，当S = 24时，即 .

化简，得   解之，得

故所求的点E有两个，分别为 . 5分

因为OE不垂直于AE，所以□OEAF不可能是矩形. 6分

因为点 满足OE = AE，所以□OEAF是菱形; 7分

因为点 不满足OE = AE，所以□OEAF不是菱形 8分

当OA⊥EF，且OA = EF时，□OEAF是正方形，此时点E的坐标只能是(3，-3).而坐标为(3，-3)的点不在抛物线上，

故不存在这样的点E使□OEAF为正方形.  9分

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