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2015-12-30
[类比探索]
在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图4247(3),M是BC的中点,连接MD和ME,试判断△MED的形状.
答:____________________.
(1) (2) (3)
等腰三角形与直角三角形
1.B 2.A 3.C 4.B
5.2 6 6.2 7.2 8.5 9.10
10.证明:(1)∵AB=AC,D是BC的中点,
∴∠BAE=∠CAE.
在△ABE和△ACE中,AB=AC,∠BAE=∠CAE,AE=AE,
∴△ABE≌△ACE(SAS).
∴BE=CE.
(2)∵∠BAC=45°,BF⊥AF,
∴△ABF为等腰直角三角形.∴AF=BF.
由(1)知AD⊥BC,∴∠EAF=∠CBF.
在△AEF和△BCF中,AF=BF,∠AFE=∠BFC=90°,∠EAF=∠CBF,
∴△AEF≌△BCF.
11.12° 解析:设∠A=x.∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A,∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x.∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x,∴∠P3P2P4=∠P12P13P11=3x,…,∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x,∴∠AP7P8=7x,∠AP8P7=7x,在△AP7P8中,∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°,即x+7x+7x=180°,∴x=12°.即∠A=12°. X Kb 1. C om
12.2 13或6 2 解析:如图17(1),以点B为直角顶点,BD为斜边上的中线.在Rt△ABD中,可得BD=13,∴原直角三角形纸片的斜边EF的长是2 13;如图17(2),以点A为直角顶点,AC为斜边上的中线,在Rt△ABC中,可得AC=3 2,∴原直角三角形纸片的斜边EF的长是6 2.
(1) (2)
图17
13.(1)证明:∵AD⊥BC,∠BAD=45°,
∴∠ABD=∠BAD=45°.∴AD=BD.
∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠CBE+∠ACD=90°,
∴∠CAD=∠CBE.
又∵∠CDA=∠BDF=90°,
∴△ADC≌△BDF(ASA).∴AC=BF.
∵AB=BC,BE⊥AC,∴AE=EC,即AC=2AE,
∴BF=2AE.
(2)解:∵△ADC≌△BDF,∴DF=CD=2.
∴在Rt△CDF中,CF=DF2+CD2=2.
∵BE⊥AC,AE=EC,∴AF=FC=2.
∴AD=AF+DF=2+2.
14.解:[操作发现]①②③④
[数学思考]MD=ME,MD⊥ME.证明如下:
图18
①MD=ME.
如图18,分别取AB,AC的中点F,G,连接DF,MF,MG,EG,
∵M是BC的中点,
∴MF∥AC,MF=12AC.
又∵EG是等腰直角三角形AEC斜边上的中线,
∴EG⊥AC,且EG=12AC.
∴MF=EG.
同理可证DF=MG.
∵MF∥AC,
∴∠MFA+∠BAC=180°.
同理可得∠MGA+∠BAC=180°.
∴∠MFA=∠MGA.
又∵EG⊥AC,∴∠EGA=90°.
同理可得∠DFA=90°.
∴∠MFA+∠DFA=∠MGA+∠EGA,
即∠DFM=∠MGE.又MF=EG,DF=MG,
∴△DFM≌△MGE(SAS).∴MD=ME.
②MD⊥ME.
如图18,设MD与AB交于点H,
∵AB∥MG,∴∠DHA=∠DMG.
又∵∠DHA=∠FDM+∠DFH,
即∠DHA=∠FDM+90°.
∵∠DMG=∠DME+∠GME,∴∠DME=90°.
即MD⊥ME.
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