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2016中考数学考前必做专题试题:开放性问题

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2016-01-26

5. (2014•浙江杭州,第23题,12分)复习课中,教师给出关于x的函数y=2kx2﹣(4kx+1)x﹣k+1(k是实数).

教师:请独立思考,并把探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上.

学生思考后,黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员,又补充一些结论,并从中选出以下四条:

①存在函数,其图象经过(1,0)点;

②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点;

③当x>1时,不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小;

④若函数有最大值,则最大值比为正数,若函数有最小值,则最小值比为负数.

教师:请你分别判断四条结论的真假,并给出理由.最后简单写出解决问题时所用的数学方法.

考点: 二次函数综合题

分析: ①将(1,0)点代入函数,解出k的值即可作出判断;

②首先考虑,函数为一次函数的情况,从而可判断为假;

③根据二次函数的增减性,即可作出判断;

④当k=0时,函数为一次函数,无最大之和最小值,当k≠0时,函数为抛物线,求出顶点的纵坐标表达式,即可作出判断.

解答: 解:①真,将(1,0)代入可得:2k﹣(4k+1)﹣k+1=0,

解得:k=0.

运用方程思想;

②假,反例:k=0时,只有两个交点.运用举反例的方法;

③假,如k=1,﹣ =,当x>1时,先减后增;运用举反例的方法;

④真,当k=0时,函数无最大、最小值;

k≠0时,y最= =﹣ ,

∴当k>0时,有最小值,最小值为负;

当k<0时,有最大值,最大值为正.运用分类讨论思想.

点评: 本题考查了二次函数的综合,立意新颖,结合考察了数学解题过程中经常用到的几种解题方法,同学们注意思考、理解,难度一般.

6. (2014•陕西,第26题12分)问题探究

(1)如图①,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,如果BC边上存在点P,使△APD为等腰三角形,那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD,并求出此时BP的长;

(2)如图②,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=12,AD是BC边上的高,E、F分别为边AB、AC的中点,当AD=6时,BC边上存在一点Q,使∠EQF=90°,求此时BQ的长;

问题解决

(3)有一山庄,它的平面图为如图③的五边形ABCDE,山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置,用来监视边AB,现只要使∠AMB大约为60°,就可以让监控装置的效果达到最佳,已知∠A=∠E=∠D=90°,AB=270m,AE=400m,ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M,使∠AMB=60°?若存在,请求出符合条件的DM的长,若不存在,请说明理由.

考点: 圆的综合题;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;勾股定理;三角形中位线定理;矩形的性质;正方形的判定与性质;直线与圆的位置关系;特殊角的三角函数值

专题: 压轴题;存在型.

分析: (1)由于△PAD是等腰三角形,底边不定,需三种情况讨论,运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题.

(2)以EF为直径作⊙O,易证⊙O与BC相切,从而得到符合条件的点Q唯一,然后通过添加辅助线,借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长.

(3)要满足∠AMB=60°,可构造以AB为边的等边三角形的外接圆,该圆与线段CD的交点就是满足条件的点,然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识,就可算出符合条件的DM长.

解答: 解:(1)①作AD的垂直平分线交BC于点P,如图①,

则PA=PD.

∴△PAD是等腰三角形.

∵四边形ABCD是矩形,

∴AB=DC,∠B=∠C=90°.

∵PA=PD,AB=DC,

∴Rt△ABP≌Rt△DCP(HL).

∴BP=CP.

∵BC=4,

∴BP=CP=2.

②以点D为圆心,AD为半径画弧,交BC于点P′,如图①,.

则DA=DP′.

∴△P′AD是等腰三角形.

∵四边形ABCD是矩形,

∴AD=BC,AB=DC,∠C=90°.

∵AB=3,BC=4,

∴DC=3,DP′=4.

∴CP′= = .

∴BP′=4﹣ .

③点A为圆心,AD为半径画弧,交BC于点P″,如图①,

则AD=AP″.

∴△P″AD是等腰三角形.

同理可得:BP″= .

综上所述:在等腰三角形△ADP中,

若PA=PD,则BP=2;

若DP=DA,则BP=4﹣ ;

若AP=AD,则BP= .

(2)∵E、F分别为边AB、AC的中点,

∴EF∥BC,EF= BC.

∵BC=12,

∴EF=6.

以EF为直径作⊙O,过点O作OQ⊥BC,垂足为Q,连接EQ、FQ,如图②.

∵AD⊥BC,AD=6,

∴EF与BC之间的距离为3.

∴OQ=3

∴OQ=OE=3.

∴⊙O与BC相切,切点为Q.

∵EF为⊙O的直径,

∴∠EQF=90°.

过点E作EG⊥BC,垂足为G,如图②.

∵EG⊥BC,OQ⊥BC,

∴EG∥OQ.

∵EO∥GQ,EG∥OQ,∠EGQ=90°,OE=OQ,

∴四边形OEGQ是正方形.

∴GQ=EO=3,EG=OQ=3.

∵∠B=60°,∠EGB=90°,EG=3,

∴BG= .

∴BQ=GQ+BG=3+ .

∴当∠EQF=90°时,BQ的长为3+ .

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