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2016-01-26
(3)在线段CD上存在点M,使∠AMB=60°.
理由如下:
以AB为边,在AB的右侧作等边三角形ABG,
作GP⊥AB,垂足为P,作AK⊥BG,垂足为K.
设GP与AK交于点O,以点O为圆心,OA为半径作⊙O,
过点O作OH⊥CD,垂足为H,如图③.
则⊙O是△ABG的外接圆,
∵△ABG是等边三角形,GP⊥AB,
∴AP=PB= AB.
∵AB=270,
∴AP=135.
∵ED=285,
∴OH=285﹣135=150.
∵△ABG是等边三角形,AK⊥BG,
∴∠BAK=∠GAK=30°.
∴OP=AP•tan30°
=135×
=45 .
∴OA=2OP=90 .
∴OH
∴⊙O与CD相交,设交点为M,连接MA、MB,如图③.
∴∠AMB=∠AGB=60°,OM=OA=90 ..
∵OH⊥CD,OH=150,OM=90 ,
∴HM= = =30 .
∵AE=400,OP=45 ,
∴DH=400﹣45 .
若点M在点H的左边,则DM=DH+HM=400﹣45 +30 .
∵400﹣45 +30 >340,
∴DM>CD.
∴点M不在线段CD上,应舍去.
若点M在点H的右边,则DM=DH﹣HM=400﹣45 ﹣30 .
∵400﹣45 ﹣30 <340,
∴DM
∴点M在线段CD上.
综上所述:在线段CD上存在唯一的点M,使∠AMB=60°,
此时DM的长为(400﹣45 ﹣30 )米.
点评: 本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识,考查了操作、探究等能力,综合性非常强.而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键.
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