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2016-04-22
13.(2013•北京)对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下的定义:若⊙C上存在两个点A、B,使得∠APB=60°,则称P为⊙C的关联点.已知点D( , ),E(0,-2),F(2 ,0).
(1)当⊙O的半径为1时,
①在点D、E、F中,⊙O的关联点是 .
②过点F作直线l交y轴正半轴于点G,使∠GFO=30°,若直线l上的点P(m,n)是⊙O的关联点,求m的取值范围;
(2)若线段EF上的所有点都是某个 圆的关联点,求这个圆的半径r的取值范围.
13.解:(1)①如图1所示,过点E作⊙O的切线设切点为R,
∵⊙O的半径为1,∴RO=1,
∵EO=2,
∴∠OER=30°,
根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点,使得组成的角等于30°,
∴E点是⊙O的关联点,
∵D( , ),E(0,-2),F(2 ,0),
∴OF>EO,DO
∴D点一定是⊙O的关联点,而在⊙O上不可能找到两点使得组成的角度等于60°,
故在点D、E、F中,⊙O的关联点是D,E;
故答案为:D,E;
②由题意可知,若P要刚好是⊙C的关联点,
需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°,
由图2可知∠APB=60°,则∠CPB=30°,
连接BC,则PC= =2BC=2r,
∴若P点为⊙C的关联点,则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r;
由上述证明可知,考虑临界点位置的P点,
如图3,点P到原点的距离OP=2×1=2,
过点O作l轴 的垂线OH,垂足为H,tan∠OGF= = ,
∴∠OGF=60°,
∴OH=OGsin60°= ;
sin∠OPH= ,
可得点P1与点G重合,
过点P2作P2M⊥x轴于点M,
可得∠P2OM=30°,
从而若点P为⊙O的关联点,则P点必在线段P1P2上,
∴0≤m≤ ;
(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,欲使这个圆的半径最小,则这个圆的圆心应在线段EF的中点;
考虑临界情况,如图4,
即恰好E、F点为⊙K的关联时,则KF=2KN= EF=2,
此时,r=1,
故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,这个圆的半径r的取值范围为r≥1.
这篇2016年中考数学一模模拟试卷的内容,希望会对各位同学带来很大的帮助。
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