4.(2014年山东泰安，第18题3分)如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙上一点，连接PD.已知PC=PD=BC.下列结论：

(1)PD与⊙O相切;(2)四边形PCBD是菱形;(3)PO=AB;(4)∠PDB=120°.

其中正确的个数为(　　)

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

分析： (1)利用切线的性质得出∠PCO=90°，进而得出△PCO≌△PDO(SSS)，即可得出∠PCO=∠PDO=90°，得出答案即可;

(2)利用(1)所求得出：∠CPB=∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB(SAS)，即可得出答案;

(3)利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA(ASA)，进而得出CO= PO= AB;

(4)利用四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，则DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，求出即可.

解：(1)连接CO，DO，

∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°，

在△PCO和△PDO中， ，∴△PCO≌△PDO(SSS)，∴∠PCO=∠PDO=90°，

∴PD与⊙O相切，故此选项正确;

(2)由(1)得：∠CPB=∠BPD，

在△CPB和△DPB中， ，∴△CPB≌△DPB(SAS)，

∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故此选项正确;

(3)连接AC，

∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，

在△PCO和△BCA中， ，∴△PCO≌△BCA(ASA)，

∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，

∴CO= PO= AB，∴PO=AB，故此选项正确;

(4)∵四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，

∴DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，∴∠PDB=120°，故此选项正确;故选：A.

点评：此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键.

5.(2014•武汉，第10题3分)如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D.若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是( )

A.1

B.1/2

C.3/5

D.2

考点： 切线的性质;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义

分析： (1)连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F.利用切线求得CA=CE，DB=DE，PA=PB再得出PA=PB= .利用Rt△BFP∽RT△OAF得出AF= FB，在RT△FBP中，利用勾股定理求出BF，再求tan∠APB的值即可.

解答： 解：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F.

∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E

∴∠OAP=∠OBP=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，

∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，

∴PA=PB= .

在Rt△BFP和Rt△OAF中，

，

∴Rt△BFP∽RT△OAF.

∴ = = = ，

∴AF= FB，

在Rt△FBP中，

∵PF2﹣PB2=FB2

∴(PA+AF)2﹣PB2=FB2

∴( r+ BF)2﹣( )2=BF2，

解得BF= r，

∴tan∠APB= = = ，

故选：B.

6.(2014•台湾，第21题3分)如图，G为△ABC的重心.若圆G分别与AC、BC相切，且与AB相交于两点，则关于△ABC三边长的大小关系，下列何者正确?(　　)

A.BCAC C.ABAC

分析：G为△ABC的重心，则△ABG面积=△BCG面积=△ACG面积，根据三角形的面积公式即可判断.

解：∵G为△ABC的重心，

∴△ABG面积=△BCG面积=△ACG面积，

又∵GHa=GHb>GHc，

∴BC=AC

故选D.

点评：本题考查了三角形的重心的性质以及三角形的面积公式，理解重心的性质是关键.

7.(2014•孝感，第10题3分)如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧 的中点，点D是优弧 上一点，且∠D=30°，下列四个结论：

①OA⊥BC;②BC=6 ;③sin∠AOB= ;④四边形ABOC是菱形.

其中正确结论的序号是(　　)

A. ①③ B. ①②③④ C. ②③④ D. ①③④

考点： 垂径定理;菱形的判定;圆周角定理;解直角三角形.

分析： 分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可.

解答： 解：∵点A是劣弧 的中点，OA过圆心，

∴OA⊥BC，故①正确;

∵∠D=30°，

∴∠ABC=∠D=30°，

∴∠AOB=60°，

∵点A是点A是劣弧 的中点，

∴BC=2CE，

∵OA=OB，

∴OB=OB=AB=6cm，

∴BE=AB•cos30°=6× =3 cm，

∴BC=2BE=6 cm，故B正确;

∵∠AOB=60°，

∴sin∠AOB=sin60°= ，

故③正确;

∵∠AOB=60°，

∴AB=OB，

∵点A是劣弧 的中点，

∴AC=OC，

∴AB=BO=OC=CA，

∴四边形ABOC是菱形，

故④正确.

故选B.

点评： 本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形，综合性较强，是一道好题.

8.(2014•四川泸州，第12题，3分)如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3，a)(a>3)，半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为 ，则a的值是(　　)

A. 4 B. 7C.3 D.5

解答： 解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，

∵⊙P的圆心坐标是(3，a)，

∴OC=3，PC=a，

把x=3代入y=x得y=3，

∴D点坐标为(3，3)，

∴CD=3，

∴△OCD为等腰直角三角形，

∴△PED也为等腰直角三角形，

∵PE⊥AB，

∴AE=BE=AB=×4 =2 ，

在Rt△PBE中，PB=3，

∴PE= ，

∴PD= PE= ，

∴a=3+ .

故选B.

点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质.

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