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2016-01-08
16.(2014•襄阳,第12题3分)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,且AE= AB,将矩形沿直线EF折叠,点B恰好落在AD边上的点P处,连接BP交EF于点Q,对于下列结论:①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF是等边三角形.其中正确的是( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④
考点: 翻折变换(折叠问题);矩形的性质
分析: 求出BE=2AE,根据翻折的性质可得PE=BE,再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°,然后求出∠AEP=60°,再根据翻折的性质求出∠BEF=60°,根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°,然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE,判断出①正确;利用30°角的正切值求出PF= PE,判断出②错误;求出BE=2EQ,EF=2BE,然后求出FQ=3EQ,判断出③错误;求出∠PBF=∠PFB=60°,然后得到△PBF是等边三角形,判断出④正确.
解答: 解:∵AE= AB,
∴BE=2AE,
由翻折的性质得,PE=BE,
∴∠APE=30°,
∴∠AEP=90°﹣30°=60°,
∴∠BEF= (180°﹣∠AEP)= (180°﹣60°)=60°,
∴∠EFB=90°﹣60°=30°,
∴EF=2BE,故①正确;
∵BE=PE,
∴EF=2PE,
∵EF>PF,
∴PF>2PE,故②错误;
由翻折可知EF⊥PB,
∴∠EBQ=∠EFB=30°,
∴BE=2EQ,EF=2BE,
∴FQ=3EQ,故③错误;
由翻折的性质,∠EFB=∠BFP=30°,
∴∠BFP=30°+30°=60°,
∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°,
∴∠PBF=∠PFB=60°,
∴△PBF是等边三角形,故④正确;
综上所述,结论正确的是①④.
故选D.
点评: 本题考查了翻折变换的性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,直角三角形两锐角互余的性质,等边三角形的判定,熟记各性质并准确识图是解题的关键.
17.(2014•孝感,第9题3分)如图,正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上,点D(5,3)在边AB上,以C为中心,把△CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D′的坐标是( )
A. (2,10) B. (﹣2,0) C. (2,10)或(﹣2,0) D. (10,2)或(﹣2,0)
考点: 坐标与图形变化-旋转.
分析: 分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可.
解答: 解:∵点D(5,3)在边AB上,
∴BC=5,BD=5﹣3=2,
①若顺时针旋转,则点D′在x轴上,OD′=2,
所以,D′(﹣2,0),
②若逆时针旋转,则点D′到x轴的距离为10,到y轴的距离为2,
所以,D′(2,10),
综上所述,点D′的坐标为(2,10)或(﹣2,0).
故选C.
点评: 本题考查了坐标与图形变化﹣旋转,正方形的性质,难点在于分情况讨论.
标签:中考数学试题
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