7.(2014•四川宜宾，第21题，8分)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x、y均为整数，则称点P为格点，若一个多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4.

(1)求出图中格点四边形DEFG对应的S，N，L.

(2)已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b，其中a，b为常数，若某格点多边形对应的N=82，L=38，求S的值.

考点： 规律型：图形的变化类;三元一次方程组的应用

分析： (1)理解题意，观察图形，即可求得结论;

(2)根据格点多边形的面积S=N+aL+b，结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG，建立方程组，求出a，b即可求得S.

解答： 解：(1)观察图形，可得S=3，N=1，L=6;

(Ⅱ)根据格点三角形ABC及格点四边形DEFG中的S、N、L的值可得，

，

解得a ，

∴S=N+L﹣1，

将N=82，L=38代入可得S=82+×38﹣1=100.

点评： 此题考查格点图形的面积变化与多边形内部格点数和边界格点数的关系，从简单情况分析，找出规律解决问题.

8.(2014•甘肃兰州,第27题10分)给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形.

(1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称;

(2)如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°.

①求证：△BCE是等边三角形;

②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形.

考点： 四边形综合题.

分析： (1)根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形;

(2)①首先证明△ABC≌△BDC，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形;

②利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解.

解答： 解：(1)正方形、矩形、直角梯形均可;

证明：(2)①∵△ABC≌△DBE，

∴BC=BE，

∵∠CBE=60°，

∴△BCE是等边三角形;

②∵△ABC≌△DBE，

∴BE=BC，AC=ED;

∴△BCE为等边三角形，

∴BC=CE，∠BCE=60°，

∵∠DCB=30°，

∴∠DCE=90°，

在Rt△DCE中，

DC2+CE2=DE2，

∴DC2+BC2=AC2.

点评： 此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目.

9. (2014•扬州，第26题，10分)对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)= (其中a、b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0，1)= =B.

(1)已知T(1，﹣1)=﹣2，T(4，2)=1.

①求a，b的值;

②若关于m的不等式组 恰好有3个整数解，求实数p的取值范围;

(2)若T(x，y)=T(y，x)对任意实数x，y都成立(这里T(x，y)和T(y，x)均有意义)，则a，b应满足怎样的关系式?

考点： 分式的混合运算;解二元一次方程组;一元一次不等式组的整数解

分析： (1)①已知两对值代入T中计算求出a与b的值;

②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出p的范围即可;

(2)由T(x，y)=T(y，x)列出关系式，整理后即可确定出a与b的关系式.

解答： 解：(1)①根据题意得：T(1，﹣1)= =﹣2，即a﹣b=﹣2;

T=(4，2)= =1，即2a+b=5，

解得：a=1，b=3;

②根据题意得： ，

由①得：m≥﹣ ;

由②得：m< ，

∴不等式组的解集为﹣ ≤m< ，

∵不等式组恰好有3个整数解，即m=0，1，2，

∴2≤ <3，

解得：﹣2≤p<﹣ ;

(2)由T(x，y)=T(y，x)，得到 = ，

整理得：(x2﹣y2)(2b﹣a)=0，

∵T(x，y)=T(y，x)对任意实数x，y都成立，

∴2b﹣a=0，即a=2B.

点评： 此题考查了分式的混合运算，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键.

10.(2014•济宁第21题9分)阅读材料：

已知，如图(1)，在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r.连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形.

∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB= BC•r+ AC•r+ AB•r= (a+b+c)r.

∴r= .

(1)类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，如图(2)，各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r;

(2)理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求 的值.

考点： 圆的综合题.

分析： (1)已知已给出示例，我们仿照例子，连接OA，OB，OC，OD，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似.仿照证明过程，r易得.

(2)(1)中已告诉我们内切圆半径的求法，如是我们再相比即得结果.但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据等腰梯形性质，过点D作AB垂线，进一步易得BD的长，则r1、r2、 易得.

解答： 解：(1)如图2，连接OA、OB、OC、OD.

∵S=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD= + + + = ，

∴r= .

(2)如图3，过点D作DE⊥AB于E，

∵梯形ABCD为等腰梯形，

∴AE= = =5，

∴EB=AB﹣AE=21﹣5=16.

在Rt△AED中，

∵AD=13，AE=5，

∴DE=12，

∴DB= =20.

∵S△ABD= = =126，

S△CDB= = =66，

∴ = = = .

点评： 本题考查了学生的学习、理解、创新新知识的能力，同时考查了解直角三角形及等腰梯形等相关知识.这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，是一道值得练习的基础题，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养.

11. ( 2014•安徽省,第22题12分)若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.

(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;

(2)已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A(1，1)，若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值.

考点： 二次函数的性质;二次函数的最值.菁优网

专题： 新定义.

分析： (1)只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可.

(2)由y1的图象经过点A(1，1)可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题.

解答： 解：(1)设顶点为(h，k)的二次函数的关系式为y=a(x﹣h)2+k，

当a=2，h=3，k=4时，

二次函数的关系式为y=2(x﹣3)2+4.

∵2>0，

∴该二次函数图象的开口向上.

当a=3，h=3，k=4时，

二次函数的关系式为y=3(x﹣3)2+4.

∵3>0，

∴该二次函数图象的开口向上.

∵两个函数y=2(x﹣3)2+4与y=3(x﹣3)2+4顶点相同，开口都向上，

∴两个函数y=2(x﹣3)2+4与y=3(x﹣3)2+4是“同簇二次函数”.

∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2(x﹣3)2+4与y=3(x﹣3)2+4.

(2)∵y1的图象经过点A(1，1)，

∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1.

整理得：m2﹣2m+1=0.

解得：m1=m2=1.

∴y1=2x2﹣4x+3

=2(x﹣1)2+1.

∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5

=(a+2)x2+(b﹣4)x+8

∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，

∴y1+y2=(a+2)(x﹣1)2+1

=(a+2)x2﹣2(a+2)x+(a+2)+1.

其中a+2>0，即a>﹣2.

∴ .

解得： .

∴函数y2的表达式为：y2=5x2﹣10x+5.

∴y2=5x2﹣10x+5

=5(x﹣1)2.

∴函数y2的图象的对称轴为x=1.

∵5>0，

∴函数y2的图象开口向上.

①当0≤x≤1时，

∵函数y2的图象开口向上，

∴y2随x的增大而减小.

∴当x=0时，y2取最大值，

最大值为5(0﹣1)2=5.

②当1

∵函数y2的图象开口向上，

∴y2随x的增大而增大.

∴当x=3时，y2取最大值，

最大值为5(3﹣1)2=20.

综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20.

点评： 本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质(开口方向、增减性)，考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力.而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键.