5. (2014•青岛，第13题3分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2，∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF.点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为　2 　.

考点： 轴对称-最短路线问题;等腰梯形的性质.

分析： 要求PA+PB的最小值，PA、PB不能直接求，可考虑转化PA、PB的值，从而找出其最小值求解.

解答： 解：∵E，F分别是底边AD，BC的中点，四边形ABCD是等腰梯形，

∴B点关于EF的对称点C点，

∴AC即为PA+PB的最小值，

∵∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，

∴∠ABC=60°，∠BCA=30°，

∴∠BAC=90°，

∵AD=2，

∴PA+PB的最小值=AB•tan60°= .

故答案为：2 .

点评： 考查等腰梯形的性质和轴对称等知识的综合应用.综合运用这些知识是解决本题的关键.

6. (2014•攀枝花，第16题4分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1.如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是　 　.

考点： 相似三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质;梯形.

分析： 首先延长BA，CD交于点F，易证得△BEF≌△BEC，则可得DF：FC=1：4，又由△ADF∽△BCF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得△ADF的面积，继而求得答案.

解答： 解：延长BA，CD交于点F，

∵BE平分∠ABC，

∴∠EBF=∠EBC，

∵BE⊥CD，

∴∠BEF=∠BEC=90°，

在△BEF和△BEC中，

，

∴△BEF≌△BEC(ASA)，

∴EC=EF，S△BEF=S△BEC=2，

∴S△BCF=S△BEF+S△BEC=4，

∵CE：ED=2：1

∴DF：FC=1：4，

∵AD∥BC，

∴△ADF∽△BCF，

∴ =( )2= ，

∴S△ADF= ×4= ，

∴S四边形ABCD=S△BEF﹣S△ADF=2﹣ = .

故答案为： .

点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及梯形的性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

7.(2014•湖北黄石,第14题3分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=45°，AB=1，CD=3，BE∥AD交CD于E，则△BCE的周长为　 　.

第1题图

考点： 等腰梯形的性质.

分析： 首先根据等腰梯形的性质可得∠D=∠C=45°，进而得到∠EBC=90°，然后证明四边形ABED是平行四边形，可得AB=DE=1，再得EC=2，然后再根据勾股定理可得BE长，进而得到△BCE的周长.

解答： 解：∵梯形ABCD是等腰梯形，

∴∠D=∠C=45°，

∵EB∥AD，

∴∠BEC=45°，

∴∠EBC=90°，

∵AB∥CD，BE∥AD，

∴四边形ABED是平行四边形，

∴AB=DE=1，

∵CD=3，

∴EC=3﹣1=2，

∵EB2+CB2=EC2，

∴EB=BC= ，

∴△BCE的周长为：2+2 ，

故答案为：2+2 .

点评： 此题主要考查了等腰梯形的性质，以及平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是掌握等腰梯形同一底上的两个角相等.

三.解答题

1. (2014年江苏南京，第19题)如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F.

(1)求证：四边形DBFE是平行四边形;

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形?为什么?

(第1题图)

考点：三角形的中位线、菱形的判定

分析：(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明;

(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明.

(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形;

(2)解答：当AB=BC时，四边形DBEF是菱形.

理由如下：∵D是AB的中点，∴BD= AB，∵DE是△ABC的中位线，

∴DE= BC，∵AB=BC，∴BD=DE，又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形.

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系，熟记性质与判定方法是解题的关键.

2. (2014•乐山，第21题10分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足为点E.若AD=1，AB=2 ，求CE的长.

考点： 直角梯形;矩形的判定与性质;解直角三角形..

分析： 利用锐角三角函数关系得出BH的长，进而得出BC的长，即可得出CE的长.

解答： 解：过点A作AH⊥BC于H，则AD=HC=1，

在△ABH中，∠B=30°，AB=2 ，

∴cos30°= ，

即BH=ABcos30°=2 × =3，

∴BC=BH+BC=4，

∵CE⊥AB，

∴CE= BC=2.

点评： 此题主要考查了锐角三角函数关系应用以及直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半等知识，得出BH的长是解题关键.

3. (2014•攀枝花，第19题6分)如图，在梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，点O为坐标原点，且A(2，﹣3)，C(0，2).

(1)求过点B的双曲线的解析式;

(2)若将等腰梯形OABC向右平移5个单位，问平移后的点C是否落在(1)中的双曲线上?并简述理由.

考点： 等腰梯形的性质;反比例函数图象上点的坐标特征;待定系数法求反比例函数解析式;坐标与图形变化-平移.

分析： (1)过点C作CD⊥AB于D，根据等腰梯形的性质和点A的坐标求出CD、BD，然后求出点B的坐标，设双曲线的解析式为y= (k≠0)，然后利用待定系数法求反比例函数解析式解答;

(2)根据向右平移横坐标加求出平移后的点C的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征判断.

解答： 解：(1)如图，过点C作CD⊥AB于D，

∵梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，A(2，﹣3)，

∴CD=2，BD=3，

∵C(0，2)，

∴点B的坐标为(2，5)，

设双曲线的解析式为y= (k≠0)，

则 =5，

解得k=10，

∴双曲线的解析式为y= ;

(2)平移后的点C落在(1)中的双曲线上.x k b 1 . c o m

理由如下：点C(0，2)向右平移5个单位后的坐标为(5，2)，

当x=5时，y= =2，

∴平移后的点C落在(1)中的双曲线上.

点评： 本题考查了等腰梯形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握等腰梯形的性质并求出点B的坐标是解题的关键.