5. (2014•浙江杭州，第23题，12分)复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2﹣(4kx+1)x﹣k+1(k是实数).

教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上.

学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：

①存在函数，其图象经过(1，0)点;

②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点;

③当x>1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小;

④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数.

教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由.最后简单写出解决问题时所用的数学方法.

考点： 二次函数综合题

分析： ①将(1，0)点代入函数，解出k的值即可作出判断;

②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假;

③根据二次函数的增减性，即可作出判断;

④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断.

解答： 解：①真，将(1，0)代入可得：2k﹣(4k+1)﹣k+1=0，

解得：k=0.

运用方程思想;

②假，反例：k=0时，只有两个交点.运用举反例的方法;

③假，如k=1，﹣ =，当x>1时，先减后增;运用举反例的方法;

④真，当k=0时，函数无最大、最小值;

k≠0时，y最= =﹣ ，

∴当k>0时，有最小值，最小值为负;

当k<0时，有最大值，最大值为正.运用分类讨论思想.

点评： 本题考查了二次函数的综合，立意新颖，结合考察了数学解题过程中经常用到的几种解题方法，同学们注意思考、理解，难度一般.

6. (2014•陕西,第26题12分)问题探究

(1)如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长;

(2)如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长;

问题解决

(3)有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°?若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由.

考点： 圆的综合题;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;勾股定理;三角形中位线定理;矩形的性质;正方形的判定与性质;直线与圆的位置关系;特殊角的三角函数值

专题： 压轴题;存在型.

分析： (1)由于△PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题.

(2)以EF为直径作⊙O，易证⊙O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长.

(3)要满足∠AMB=60°，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长.

解答： 解：(1)①作AD的垂直平分线交BC于点P，如图①，

则PA=PD.

∴△PAD是等腰三角形.

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC，∠B=∠C=90°.

∵PA=PD，AB=DC，

∴Rt△ABP≌Rt△DCP(HL).

∴BP=CP.

∵BC=4，

∴BP=CP=2.

②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P′，如图①，.

则DA=DP′.

∴△P′AD是等腰三角形.

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AB=DC，∠C=90°.

∵AB=3，BC=4，

∴DC=3，DP′=4.

∴CP′= = .

∴BP′=4﹣ .

③点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P″，如图①，

则AD=AP″.

∴△P″AD是等腰三角形.

同理可得：BP″= .

综上所述：在等腰三角形△ADP中，

若PA=PD，则BP=2;

若DP=DA，则BP=4﹣ ;

若AP=AD，则BP= .

(2)∵E、F分别为边AB、AC的中点，

∴EF∥BC，EF= BC.

∵BC=12，

∴EF=6.

以EF为直径作⊙O，过点O作OQ⊥BC，垂足为Q，连接EQ、FQ，如图②.

∵AD⊥BC，AD=6，

∴EF与BC之间的距离为3.

∴OQ=3

∴OQ=OE=3.

∴⊙O与BC相切，切点为Q.

∵EF为⊙O的直径，

∴∠EQF=90°.

过点E作EG⊥BC，垂足为G，如图②.

∵EG⊥BC，OQ⊥BC，

∴EG∥OQ.

∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ=90°，OE=OQ，

∴四边形OEGQ是正方形.

∴GQ=EO=3，EG=OQ=3.

∵∠B=60°，∠EGB=90°，EG=3，

∴BG= .

∴BQ=GQ+BG=3+ .

∴当∠EQF=90°时，BQ的长为3+ .

(3)在线段CD上存在点M，使∠AMB=60°.

理由如下：

以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG，

作GP⊥AB，垂足为P，作AK⊥BG，垂足为K.

设GP与AK交于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，

过点O作OH⊥CD，垂足为H，如图③.

则⊙O是△ABG的外接圆，

∵△ABG是等边三角形，GP⊥AB，

∴AP=PB= AB.

∵AB=270，

∴AP=135.

∵ED=285，

∴OH=285﹣135=150.

∵△ABG是等边三角形，AK⊥BG，

∴∠BAK=∠GAK=30°.

∴OP=AP•tan30°

=135×

=45 .

∴OA=2OP=90 .

∴OH

∴⊙O与CD相交，设交点为M，连接MA、MB，如图③.

∴∠AMB=∠AGB=60°，OM=OA=90 ..

∵OH⊥CD，OH=150，OM=90 ，

∴HM= = =30 .

∵AE=400，OP=45 ，

∴DH=400﹣45 .

若点M在点H的左边，则DM=DH+HM=400﹣45 +30 .

∵400﹣45 +30 >340，

∴DM>CD.

∴点M不在线段CD上，应舍去.

若点M在点H的右边，则DM=DH﹣HM=400﹣45 ﹣30 .

∵400﹣45 ﹣30 <340，

∴DM

∴点M在线段CD上.

综上所述：在线段CD上存在唯一的点M，使∠AMB=60°，

此时DM的长为(400﹣45 ﹣30 )米.

点评： 本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探究等能力，综合性非常强.而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键.

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