12.4   解析：因为 ，所以设 ，所以 所以

13. 或2  解析：设 ，由折叠的性质知 ，

当△ ∽△ 时， ，∴  ，解得  .

当△ ∽△ 时, ，∴  ，解得 .∴  的长度是 或2.

14.    解析：设  ，则 ， ， ，

∴   .

15.8    解析：由反射角等于入射角知∠ ∠ ， 所以△  ∽△ 所以 ，所以 ，所以

16.     解析：因为五边形 ∽五边形 所以 .又因为五边形的内角和为 所以 .

17.   解析：在△ 和△ 中，∵ ,  ,∴ △ ∽△ .

∴ ∴  ∴  .

18. 或     解析：∵  (2，2)， (6，4)，∴ 其中点坐标 为(4，3)，又以原点为位似中心，将△ 缩小，位似比为 ，∴ 线段 的中点 变换后对应点的坐标为 或 .

三、解答题

19.解： . 理由如下：

∵ ∠ ∠ ， ∴  .

又∵  ∴ △ ∽△ ，

∴  ，即 .

20.分析：通过观察可以知道四边形 是正方形， 的值与 的值相等，从而可以求出 的长;根据相似多边形的面积比等于相似比的平方可以求出四边形 的面积.

解:已知正方形ABCD，且EF⊥AB，EG⊥AD,∴ EF∥CB，EG∥DC.

∴ 四边形AFEG是平行四边形.∵ ∠1 ∠2 45°,∴  .

又∵ ∠ ，∴ 四边形AFEG是正方形，

∴ 正方形ABCD∽正方形AFEG，

∴ S正方形ABCD∶S正方形AFEG=AB2∶AF2(相似多边形的面积比等于相似比的平方).

在△ABC中，EF∥CB ,∴ AE∶EC=AF∶FB=2∶1.

又 ,∴  .∴ S正方形ABCD∶S正方形AFEG=36∶16，

∴  .

21.分析：要判定两个多边形相似，必须对应角相等，对应边成比例，因矩形的四个角都是直角，符合对应角相等，只要证明对应边成比例即可.

解：因为两个图形都是矩形，显然它们的四个角都分别相等.

从图中数据观察可知小矩形的长为20，宽为10，

于是两个矩形的长之比为 = ,宽之比为 ,

符合对应边成比例，对应角相等，故这两个矩形是相似的.

22.解：(1)如图.

(2)四边形 的周长=4+6 .

23.证明：(1)∵ ，∴ ∠ .

∵ ∥ ，∴  ，

.∴  .

∵  ，∴ △ ∽△ .