例5、如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PT切⊙O1于A，交⊙O1于P，PB的延长线交⊙O1于C，CA的延长线交⊙O2于D，E是⊙O1上一点，且AE=AC，EB的延长线交⊙O2于F，连结AF、DF、FD。

求证：(1) △PAD为等腰三角形;(2) DF∥PA;(3) AF2=PB·EF

分析：(1) 要证△PAD为等腰三角形，可连结AB，利用公共弦将两圆中的角有机地联系起来，不难得到∠DAP=∠TAC=∠ABC=∠PDA

(2) 要证DF∥PA，可设法证明∠FDP=∠DPA，易知∠EDP=∠EBP=∠EBC=∠EAC，连结EC，证明△ADP∽△EAC即可。

(3) 由切割线定理可得PA2=PB·PC，可设法证明AF=AP，EF=PC，即可获证。

证明：连结AB、EC

(1) ∵AT切⊙O1于A，

∴∠TAC=∠ABC(弦切角定理)

又∠ABC=∠PDA(圆内接四边形的性质定理)

∴∠TAC=∠PDA

∵∠TAC=∠PAD(对顶角)

∴∠PDA=∠PAD

∴PD=PA

∴△PDA为等腰三角形。

(2) ∵AE=AC

∴△AEC为等腰三角形

又△PDA为等腰三角形，且∠AEC=∠ABC，∠ABC=∠PDA

∴∠AEC=∠PDA

∴△AEC∽△PDA(相似三角形判定定理1)

∴∠EAC=∠DPA

又∠EAC=∠EBC=∠FBP=∠FDP ∠EFP=∠DPA DF∥PA

(3) ∵AE=AC ∠AEF=∠ACP ∠APC=∠AFE

∴△APC∽△AFE

∴AF=AP，EF=PC 又PA2=PB·PC(切割线定理)

∴AF2=PB·EF

 

例6、如图⊙O1和⊙O2相交于A、B，过A作直线交⊙O1于C，交⊙O2于D，M是CD中点，直线BM交⊙O1于E，交⊙O2于F。求证：ME=MF。

分析：要证ME=MF，结合已知MC=MD，若连结CE、DF，只需证△CME∽△DMF，连结公共弦AB，以两圆的公共圆周角∠ABE为“桥梁”，可证得∠C=∠D。

证法一：连结CE、DF、AB，

∵∠C=∠ABE，∠D=∠ABE，

∴∠C=∠D

又∵CM=DM，∠CMF=∠DMF

∴△CME∽△DMF

∴ME=MF

分析二：考虑到ME是⊙O1中相交两弦CA、EB被交点分成的一段，MF是M向⊙O2所引割线，因此可用圆幂定理来证明。

证法二：在⊙O1中，

∵弦CA、EB相交于点M

∴EM·MB=CM·MA

在⊙O2中，∵MAD、MFB是⊙O2的两割线

∴MF·MB=MA·MD

∵MC=MD

∴ME·MB=MF·MB

∴ME=MF

例7、已知两圆半径之比是5:3，如果两圆内切时，圆心距等于6，问当两圆的圆心距分别是24、5、20、0时，相应两圆的位置关系如何?

解：设大圆半径R=5x

∵两圆半径之比为5: 3，∴小圆半径r=3x，

∵两圆内切时圆心距等于6，∴5x-3x=6，∴x=3，

∴大圆半径R=15，小圆半径r=9，

当两圆圆心距dl=24时，有dl=R+r，∴此时两圆外切;

当两圆圆心距d2=5时，有d2

当两圆圆心距d3=20时, 有R-r

当两圆圆心距d4=0时，两圆圆心重合，两圆为同心圆.

说明：注重两圆位置的数量认识与形象思维的联想能力和数形结合能力.

例8、(武汉市，2002)已知：如图，⊙O和⊙O1内切于A，直线OO1交⊙O于另一点B，交⊙O1于另一点F，过B点作⊙O1的切线，切点为D，交⊙O于C点，DE⊥AB垂足为E.求证：

(1)CD=DE;

(2)若将两圆内切改为外切，其他条件不变，(1)中的结论是否成立?请证明你的结论.

证明：(1)连结DF、AD，

∵AF为⊙O1的直径，∴FD⊥AD，又DE⊥AB，

∴∠DFE=∠EDA，

∵BC为⊙O1的切线，∴∠CDA=∠DFE，

∴∠CDA=∠EDA，

连结AC，∵AB为⊙O的直径，

∴AC⊥BC，又AD公共，

∴Rt△EDA≌Rt△CDA，

∴CD=DE.

(2)当两圆外切时，其他条件不变，(1)中的结论仍成立.证法同(1).

说明：①此题应用“如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上”、双垂直、弦切角、全等三角形等知识;②第(2)问是开放性问题.

例9、已知两相交圆的半径分别为8cm和5cm，公共弦长为6cm，求这两圆的圆心距.

解：分两种情况：

(1)如图1，设⊙O1的半径为r1=8cm，⊙O2的半径为r2=5cm.

圆心Ol，02在公共弦的异侧.

∵O1 O2垂直平分AB，∴AD= AB=3cm.

连O1A、 O2A，则 ,

.

(cm).

(2) 如图2，圆心Ol，02在公共弦AB的同侧，同理可求

02D=4cm，01D= (cm).                        (cm).

说明：本题要求我们自己作图计算，究竟两圆的圆心在公共弦的同侧，还是异例题设中没有交待，需要我们自己去研究.因此，凡做到没有图形的几何题时，要特别当心，有可能有几种位置形状的图形.

【巩固练习】

（一）填空

1.已知⊙O1与⊙O2交于A，B两点，连结O1O2交⊙O1于C.若∠ACB=120°，AC=6cm，则AB的长是________.

2.已知⊙O1与⊙O2交于A，B两点，若⊙O1的半径为5，AB=6，O1O2=7，则∠BO2A=______度.

3.若三个圆两两外切，圆心距分别是6，8，10，则这三个圆的半径分别是______.

4.设⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，且O1在⊙O2上，O2在⊙O1上，则∠AO1B=______度.

5.已知两等圆外切，并且都与一个大圆内切.若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm.则大圆的半径是________cm.

6.如果两个圆的一个公共点关于连心线有对称点(对称点不是公共点本身)，那么这两圆的位置关系是______.

7.如果两个圆有一个公共点在连心线上，则这两个圆的位置关系是______.

8.已知⊙O1与⊙O2是等圆，相交于A，B两点.若∠AO1B=60°，O1A=1cm，则O1O2的长是______.

9.若两个圆有且只有一个公共点，则这个公共点一定在______直线上.

10.已知两圆相交于A、B两点，连心线交AB于E，若AE= cm，则AB=______cm.

11.相切两圆的______，经过切点.

12.相交两圆的连心线______两圆的公共弦.

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