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1. 绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.?a(a?0)?用式子表示如下：a???a(a?0)

?0(a?0)?

2. 初中阶段学习含绝对值符号的代数式化简，方程、不等式的解法，以及函数作图等.解答时，一般是根据定义先化去绝对值符号，这时关健是按已知条件判断绝对值符号内的式子的值是正或是负，若含有变量的代数式，不能确定其正、负时，则采取零点分区讨论法. 例如：

(1)化简 x(x?2)

解：当x=0, x=2时, x(x?2)=0;

当x<0或x>2时, x(x?2)=x(x-2)=x2-2x;

当0

(2)解方程x?x?2=6.

解：当x<0时，x=-2;

当0≤x≤2时，方程无解;

当x>2时，x=4.

∴原方程的解是：x=-2， x=4..

(3)作函数y=x?x?2的图象.

解：化去绝对值符号，得y=-2x+2 (x<0);

y=2 (0≤x≤2) ;

y=2x-2 (x>2).

分别作出上述三个函数的图象(如图)，就是函数y=x?x?2的图象.

3. 绝对值的几何意义是：在数轴上一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离. 用这一定义，在解含绝对值符号的方程、不等式时，常可用观察法.

例如： ①解方程x?3; ②解不等式x?3; ③解不等式x+

2?3.

解：①∵x?3的几何意义是：x是数轴上到原点的距离等于3个单位的点所表示的数，

即3和-3， ∴方程x?3的解是x=3, x=-3. ②∵x?3的几何意义是：x是数轴上到原点的距离小于3个单位的点所表示的数，∴不等式x?3的解集是 -31.(如下图)

4. 绝对值的简单性质：

①绝对值是非负数; ②两个互为相反数，它们的绝对值相等.

根据这些性质，可简化函数的作图步骤. 例如：

(1)对整个函数都在绝对值符号内时，可先作出不含绝对值符号的图象，再把横轴下方的

部份，绕x轴向上翻折

作函数图象：①y=x?1 ②y=x2?x?2

(2) 当f(-x)=f(x),图象关于纵轴对称，这时可先作当x<0时函数图象，再画出关于纵

轴对称的图象.

例如：y=x2-2x-3的图象，

可先作y=x2+2x-3自变量x<0时的图象(左半图)

再画右半图(与左半图关于纵轴对称).

(3) 把y=x的图象向上平移a个单位，所得图象解析式是y=x?a; 把y=x的图象向右平移3个单位，所得图象解析式是y=x-3.

(4) 利用图象求函数最大值或最小值，判断方程解的个数都比较方便. 例题

例1. 已知方程x=ax+1有一个负根并且没有正根，求a的值. 解：当x<0时，原方程为-x=ax+1, x=

∴a>-1;

当x>0时，原方程为x=ax+1, x=

∴a<1.

∵方程有一个负根并且没有正根，

∴a>-1且a≮1，

∴a

的取值范围是

a≥1. -1?0, ∴ a+1>0. a?11?0, ∴1-a>0. 1-a

例2. 求函数y=2x-3?x的最小、最大值.

解：当x<0时， y=-x+6;

当0≤x<3时，y=-3x+6;

当x≥3时， y=x-6 .

根据图象有最低点而没有最高点 ∴函数没有最大值只有最小值-3(当x=3时).