直线CD与☉O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,连接AE,BE.证明:

(1)∠FEB=∠CEB;

(2)EF2=AD·BC.

证明: (1)由直线CD与☉O相切,

得∠CEB=∠EAB.

由AB为☉O的直径,

得AE⊥EB,

从而∠EAB+∠EBF=;

又EF⊥AB,得

∠FEB+∠EBF=,

从而∠FEB=∠EAB.

故∠FEB=∠CEB.

(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,

∠FEB=∠CEB,BE是公共边,

得Rt△BCE≌Rt△BFE,

所以BC=BF.

类似可证:Rt△ADE≌Rt△AFE,

得AD=AF.

又在Rt△AEB中,EF⊥AB,

故EF2=AF·BF,

所以EF2=AD·BC.

7. (选修41:几何证明选讲)如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B、E、F、C四点共圆.

(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;

(2)若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.

(1)证明:因为CD为△ABC外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知=,故△CDB∽△AEF,

所以∠DBC=∠EFA.

因为B,E,F,C四点共圆,

所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.

所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圆的直径.

(2)解:连接CE,因为∠CBE=90°,

所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE.

由DB=BE,有CE=DC.

又BC2=DB·BA=2DB2,

所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.

而CE2=DC2=DB·DA=3DB2,

故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.

8.如图所示,D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根.

(1)证明:C,B, D,E四点共圆;

(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径.

(1)证明:连接DE,根据题意在△ADE和△ACB中,

AD·AB=mn=AE·AC,

即=.

又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB,

因此∠ADE=∠ACB,

∴∠ACB+∠EDB=180°,

∴C、B、D、E四点共圆.

(2)解:m=4,n=6时,方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12,故AD=2,AB=12.

取CE的中点G,DB的中点F,分别过G、F作AC、AB的垂线,两垂线相交于H点,连接DH.

因为C、B、D、E四点共圆,

∴C、B、D、E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.

由于∠A=90°,故GH∥AB,HF∥AC,

从而HF=AG=5,DF=×(12-2)=5,

故C、B、D、E四点所在圆的半径为5.

相似三角形的判定与性质

1.如图所示,AB是半径等于3的☉O的直径,CD是☉O的弦,BA,DC的延长线交于点P,若PA=4,PC=5,则∠CBD=　　　　.

解析:连接AC,DO,OC,

可得△PAC∽△PDB,

∴=.

∴PD=8,CD=3.

又OC=OD=3,∴△OCD为等边三角形.

∴∠COD=60°,∴∠CBD=∠COD=30°.

答案:30°

2.如图所示,已知C点在圆O直径BE的延长线上,CA切圆O于A点,∠ACB的平分线CD交AE于点F,交AB于点D.

(1)求∠ADF的度数;

(2)若AB=AC,求AC∶BC.

解:(1)∵AC为圆O的切线,

∴∠B=∠EAC,

又∵CD是∠ACB的平分线,

∴∠ACD=∠DCB,

∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD,即∠ADF=∠AFD.

又∵BE为圆O的直径,∴∠DAE=90°,

∴∠ADF=(180°-∠DAE)=45°.

(2)∵∠B=∠EAC,∠ACB=∠ACB,

∴△ACE∽△BCA,

∴=.又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=30°,

∴在Rt△ABE中, =tan B=tan 30°=,

∴==.

3.如图所示,AB是☉O的直径,弦BD