2014高考数学押题:几何证明

1.几何证明选做题)如图,AB与CD相交于点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P.已知∠A=∠C,PD=2DA=2,则PE=　　　　.

解析:由BC∥PE,得∠C=∠PED,

又∠A=∠C,

得∠PED=∠A,

∠P为△DPE与△EPA的公共角,

所以△PED∽△PAE, =,PE2=PD·PA.

由PD=2,DA=1,

得PA=3,PE=.

答案:

2.如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,则AE=　　　.

解析:由∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°知△ABE∽△ADC,则=,AE===2.

答案:2

3.如图,☉O和☉O′相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点,连结DB并延长交☉O于点E.证明:

(1)AC·BD=AD·AB;

(2)AC=AE.

证明:(1)由AC与☉O′相切于A,得∠CAB=∠ADB,

同理∠ACB=∠DAB,

所以△ACB∽△DAB,从而=,

即AC·BD=AD·AB.

(2)由AD与☉O相切于A,得∠AED=∠BAD,

又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD.

从而=,

即AE·BD=AD·AB,

结合(1)的结论,AC=AE.

直线和圆的位置关系

1.如图,在圆内接梯形ABCD中,AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB=AD=5,BE=4,则弦BD的长为　　　　.

解析:因为AE是圆的切线,

AB∥DC,

所以BC=AD=AB=5,

又BE=4,

则EA2=EB×EC=4×9=36,

EA=6.

由∠CDB=∠CAB=∠ACB=∠BAE,

即∠CDB=∠BAE,∠DCB=∠ABE,

得△DCB∽△ABE,则=,

则BD==.

答案:

2.如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF·DB=　　　.

解析:∵Rt△DEF∽Rt△DBE,

∴=,即DE2=DF·DB,

又由相交弦定理得DE2=AE·EB=1×5=5,

∴DF·DB=5.

答案:5

3.如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为　　　　.

解析:由相交弦定理知AF×FB=EF×FC,

又∵AF=3,FB=1,EF=,

∴FC=2,

又∵FC∥BD,∴==,∴BD=,

又∵==,∴AD=4CD.

又由切割线定理知DB2=DC·DA,

∴=4CD2,∴CD=.

答案:

4.如图,已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3 cm,4 cm,以AC为直径的圆与AB交于点D,则BD=　　　　 cm.

解析:法一　Rt△ABC中,AC=3,BC=4,

∴AB=5.

如图,连接CD,则CD⊥AB.

由射影定理得BC2=BD·AB,

即42=5·BD,

∴BD=(cm).

法二　∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,AC为☉O的直径,

∴AB=5,BC为☉O的切线,AB为☉O的割线,

∴BC2=BD·AB,∴42=5·BD,

∴BD=(cm).

答案:

5.如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.

(1)证明:DB=DC;

(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.

(1)证明:连接DE,交BC于点G.

由弦切角定理得,

∠ABE=∠BCE.

而∠ABE=∠CBE,

故∠CBE=∠BCE,BE=CE.

又DB⊥BE,

所以DE为直径,

则∠DCE=90°,

由勾股定理可得DB=DC.

(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,

故DG是BC的中垂线,

所以BG=.

设DE的中点为O,连接BO,

则∠BOG=60°.

从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,

所以CF⊥BF,

故Rt△BCF外接圆的半径等于.

6.如图所示,AB为☉O直径,直