、CA的延长线相交于点E,F为BA延长线上一点,且BD·BE=BA·BF,求证:

(1)EF⊥FB;

(2)∠DFB+∠DBC=90°.

证明:(1)连接AD.

在△ADB和△EFB中,

∵BD·BE=BA·BF,

∴=.

又∠DBA=∠FBE,

∴△ADB∽△EFB,

又∵AB为☉O直径,

∴∠EFB=∠ADB=90°,即EF⊥FB.

(2)由(1)知∠ADB=∠ADE=90°,∠EFB=90°,

∴E、F、A、D四点共圆,

∴∠DFB=∠AEB.

又AB是☉O的直径,则∠ACB=90°,

∴∠DFB+∠DBC=∠AEB+∠DBC=90°.

直线和圆的位置关系

1.如图所示,PC与圆O相切于点C,直线PO交圆O于A,B两点,弦CD垂直AB于E,则下面结论中,错误的结论是(　　)

(A)△BEC∽△DEA

(B)∠ACE=∠ACP

(C)DE2=OE·EP

(D)PC2=PA·AB

解析:由切割线定理可知PC2=PA·PB,所以选项D错误,故选D.

答案:D

2.如图所示,AB是☉O的直径,P是AB延长线上的一点,过P作☉O的切线,切点为C,PC=2,若∠CAP=30°,则PB=　　　.

解析:连接OC,因为PC=2,∠CAP=30°,

所以OC=2tan 30°=2,则AB=2OC=4,

由切割线定理得PC2=PB·PA=PB·(PB+BA),

解得PB=2.

答案:2

3.如图所示,在正△ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,且AD=AC,

AE= AB,BD,CE相交于点F.

(1)求证:A,E,F,D四点共圆;

(2)若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.

(1)证明:∵AE=AB,∴BE=AB.

又∵AD=AC,AB=AC,∴AD=BE.

又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,

∴△BAD≌△CBE,∴∠ADB=∠BEC,

∴∠ADF+∠AEF=π,

∴A,E,F,D四点共圆.

(2)解:如图所示,取AE的中点G,连接GD,则AG=GE=AE.

∵AE=AB,∴AG=GE=AB=.

∵AD=AC=,∠DAE=60°,

∴△AGD为正三角形,

∴GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=,

所以点G是△AED外接圆的圆心,且圆G的半径为.

由于A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为.

综合检测

1.如图所示,已知AD=5,DB=8,AO=3,则圆O的半径OC的长为　　　　.

解析:取BD的中点M,连接OM,OB,

则OM⊥BD,因为BD=8,所以DM=MB=4,AM=5+4=9,

所以OM2=AO2-AM2=90-81=9,所以半径OB====5,即OC=5.

答案:5

2.如图所示,圆O的直径AB=8,C为圆周上一点,BC=4,过C作圆O的切线l,过A作直线l的垂线AD,D为垂足,AD与圆O交于点E,则线段AE的长为　　　　.

解析:如图所示,连接OE,OC.

∵直线l与圆O相切于点C,

∴OC⊥l.

又∵AD⊥l,

∴OC∥AD,

∴∠DAB=∠COB.

又圆O的直径AB=8,BC=4,

∴△COB为等边三角形,

∴∠COB=60°,∴∠DAB=60°,

∴△AEO也为等边三角形,

∴AE=OA=4.

答案:4

3.如图所示,已知圆O外有一点P,作圆O的切线PM,M为切点,过PM的中点N,作割线NAB,交圆于A、B两点,连接PA并延长,交圆O于点C,连接PB交圆O于点D,若MC=BC.

(1)求证:△APM∽△ABP;

(2)求证:四边形PMCD是平行四边形.

证明:(1)∵PM是圆O的切线,NAB是圆O的割线,N是PM的中点,

∴MN2=PN2=NA·NB, ∴=,

又∵∠PNA=∠BNP, ∴△PNA∽△BNP,

∴∠APN=∠PBN, 即∠APM=∠PBA.

∵MC=BC, ∴∠MAC=∠BAC,

∴∠MAP=∠PAB,

∴△APM∽△ABP.

(2)∵∠ACD=∠PBN,

∴∠ACD=∠PBN=∠APN,即∠PCD=∠CPM,

∴PM∥CD,

∵△APM∽△ABP,∴∠PMA=∠BPA,

∵PM是圆O的切线,∴∠P