摘要：精品学习网整理了东城区高三数学二模理科试卷，供2014年的高考考生和家长参考。

第Ⅰ卷(选择题   共40分)

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1、 已知集合 ， ，那么集合 是(    )

A.                      B.

C.      D.

2、 如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是： ， ， ， ， ， ，则图中 的值等于(    )

A.      B. ?

C.   D.

3、 已知圆的极坐标方程是 ，那么该圆的直角坐标方程是(    )

A.           B.

C.           D.

4、 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为(    )

A.1

B.2

C.3

D.4

5、 阅读程序框图，运行相应的程序，当输入 的值为 时，输出 的值为(    )

A.

B.

C.

D.

6、 已知 ，那么 的值为(    )

A.       B.        C.        D.

7、 过抛物线 焦点的直线交抛物线于 ， 两点，若 ，则 的中点到 轴的距离等于(    )

A.          B.          C.       D.

8、 已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， (其中 是 的导函数)，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是(    )

A.        B.        C.        D.

第Ⅱ卷(共110分)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9、 已知向量 ， ，若 ，则 ________.

10、 若复数 是纯虚数，则实数 的值为________.

11、 各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的值为________， 的值为________.

12、 如图， 为⊙ 的直径， 切⊙ 于点 ，且过点 的割线 交 的延长线于点 ，若 ， ，则 ________， ________.

13、 5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有________种.

14、 在数列 中，若对任意的 ，都有 ( 为常数)，则称数列 为比等差数列， 称为比公差.现给出以下命题：

①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列;

②若数列 满足 ，则数列 是比等差数列，且比公差 ;

③若数列 满足 ， ， ( )，则该数列不是比等差数列;

④若 是等差数列， 是等比数列，则数列 是比等差数列.

其中所有真命题的序号是________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15、 (本小题共13分)

已知函数 .

⑴ 求 的最小正周期;

⑵ 当 时，求 的取值范围.

16、 (本小题共13分)

某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级.测试结果如下表：(单位：人)

优秀 良好 合格

男

女

按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取 人，其中成绩为优的有 人.

⑴ 求 的值;

⑵ 若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为 的样本，从中任选 人，记 为抽取女生的人数，求 的分布列及数学期望.

17、 (本小题共14分)

如图， 是等边三角形，  ， ，将 沿 折叠到 的位置，使得 .

⑴ 求证： ;

⑵ 若 ， 分别是 ， 的中点，求二面角 的余弦值.

18、 (本小题共14分)

已知函数 ( ).

⑴ 求 的单调区间;

⑵ 如果 是曲线 上的任意一点，若以 为切点的切线的斜率 恒成立，求实数 的最小值;

⑶ 讨论关于 的方程 的实根情况.

19、 (本小题共13分)

已知椭圆 ： ( )的离心率 ，原点到过点 ， 的直线的距离是 .

⑴ 求椭圆 的方程;

⑵ 若椭圆 上一动点 关于直线 的对称点为 ，求 的取值范围.

⑶ 如果直线 ( )交椭圆 于不同的两点 ， ，且 ， 都在以 为圆心的圆上，求 的值.

20、 (本小题共13分)

已知数列 ， ， ， ， ( ).

⑴求 ， ;

⑵是否存在正整数 ，使得对任意的 ，有 ;

⑶设 ，问 是否为有理数，说明理由.

北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习(二)

数学参考答案(理科)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

(1)B        (2)C         (3)A         (4)D

(5)D        (6)B        (7)D         (8)C

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

(9)             (10)           (11)

(12)          (13)          (14)①③

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分.

三、解答题(本大题共6小题，共80分)

(15)(共13分)

解：(Ⅰ)因为

.

所以 的最小正周期 .

(Ⅱ) 因为 ，

所以 .

所以 的取值范围是 .           ………………………………13分

(16)(共13分)

解：(Ⅰ)设该年级共 人，由题意得 ，所以 .

则 .

(Ⅱ)依题意， 所有取值为 .

，

，

.

的分布列为：

.          ………………………………………13分