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2013年东城区高三数学二模理科试卷(附答案)

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2014-04-04

(17)(共14分)

(Ⅰ)证明:因为

所以 ,

又因为 ,且 ,

所以  平面 ,

因为 平面 ,

所以  .

(Ⅱ)因为△ 是等边三角形,

, ,

不防设 ,则  ,

又因为 , 分别为 , 的中点,

由此以 为原点, , , 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 .

则有 , , , , , .

所以 , .

设平面 的法向量为 .

令 ,则 .

所以 .

又平面 的一个法向量为 .

所以  .

所以二面角 的余弦值为 .     ………………………………14分

(18)(共14分)

解:(Ⅰ)  ,定义域为 ,

则 .

因为 ,由 得 , 由 得 ,

所以 的单调递增区间为  ,单调递减区间为 .

(Ⅱ)由题意,以 为切点的切线的斜率 满足

所以 对 恒成立.

又当 时,  ,

所以 的最小值为 .

(Ⅲ)由题意,方程 化简得

+

令 ,则 .

当 时,  ,

当 时,  ,

所以 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.

所以 在 处取得极大值即最大值,最大值为 .

所以  当 , 即 时,  的图象与 轴恰有两个交点,

方程 有两个实根,

当 时,   的图象与 轴恰有一个交点,

方程 有一个实根,

当 时,   的图象与 轴无交点,

方程 无实根.                         ……14分

(19)(共13分)

解: (Ⅰ)因为 , ,

所以  .

因为原点到直线 : 的距离 ,

解得 , .

故所求椭圆 的方程为 .

(Ⅱ)因为点 关于直线 的对称点为 ,

所以

解得  , .

所以 .

因为点 在椭圆 : 上,

所以 .

因为 , 所以 .

所以 的取值范围为 .

(Ⅲ)由题意

消去  ,整理得

.

可知 .

设 , , 的中点是 ,

则 , .

所以 .

所以 .

即  .

又因为 ,

所以 .所以 .                  ………………………………13分

(20)(共13分)

解:(Ⅰ) ;

.

(Ⅱ)假设存在正整数 ,使得对任意的 ,有 .

则存在无数个正整数 ,使得对任意的 ,有 .

设 为其中最小的正整数.

若 为奇数,设 ( ),

则 .

与已知 矛盾.

若 为偶数,设 ( ),

则 ,

从而 .

而 ,与 为其中最小的正整数矛盾.

综上,不存在正整数 ,使得对任意的 ,有 .

(Ⅲ)若 为有理数,即 为无限循环小数,

则存在正整数 , ,对任意的 ,且 ,有 .

与(Ⅱ)同理,设 为其中最小的正整数.

若 为奇数,设 ( ),

当 时,有 .

与已知 矛盾.

若 为偶数,设 ( ),

当 时,有 ,

从而 .

而 ,与 为其中最小的正整数矛盾.

故 不是有理数.            ……………………………………………………13分

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