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2013年房山区高三数学二模理科试卷(附答案)

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2014-04-04

(Ⅲ)解:点 是线段 上一个动点,设 .

因为 平面 ,

所以  ,                                     ……………11分

即 ,解得 .                        ……………13分

此时,点 坐标为 , ,符合题意.   ……………14分

17(本小题满分13分)

(Ⅰ)设走路线1最多遇到1次红灯为A事件,则

.           ………………2分

(Ⅱ)依题意, 的可能取值为0,1,2.

.              ………………………………8分

随机变量 的分布列为:

………………………………………………9分

.             ………………10分

(Ⅲ)设选择路线1遇到红灯次数为 ,则 ,

所以 .                           ………………12分

因为 ,所以选择路线1上学最好.      ………………13分

18(本小题满分13分)

(Ⅰ)   …………1分

当 时,

解 得 或 ,  解 得  ……………2分

所以 单调增区间为 和 ,单调减区间为 ………3分

(Ⅱ)①当 时, 取得极值, 所以

解得 (经检验 符合题意)                 ……………4分

↘  ↗

所以函数 在 , 递增,在 递减. ……5分

当 时, 在 单调递减,

………………6分

当 时

在 单调递减,在 单调递增,

.                           ………………7分

当 时, 在 单调递增,

……………………8分

综上, 在 上的最小值

……………………9分

②令  得 (舍)

因为

所以                       ……………11分

所以,对任意 ,都有

……………13分

19(本小题满分14分)

(Ⅰ)  ,   ,

, ,

. ------------------------------------------3分

(Ⅱ)设  ,  ,

①       ②----------------------5分

, --------------------8分

设 为点 到直线BD: 的距离,

--------------------10分

----------------------13分

当且仅当  时等号成立

∴当 时, 的面积最大,最大值为 ----------------14分

20(本小题满分13分)

(Ⅰ)由题意,创新数列为3,5,5,5,5的所有数列 有6个,

3,5,1,2,4; ……………………………………………………………2分

3,5,1,4,2;

3,5,2,1,4;

3,5,2,4,1;

3,5,4,1,2;

3,5,4,2,1;………………………………………………………………4分

(Ⅱ)存在数列 的创新数列为等比数列. 设数列 的创新数列为 ,

因为 为前 个自然数中最大的一个,所以 .若 为等比数列,

设公比为 ,因为 ,所以 .……………7分

当 时, 为常数列满足条件,即为数列

当 时, 为增数列,符合条件的数列只能是 ,

又 不满足等比数列.综上符合条件的创新数列只有一个.

………………………………………………………………8分

(Ⅲ)存在数列 ,使它的创新数列为等差数列,

设数列 的创新数列为 ,因为 为前 个自然数中最大的一个,

所以 .若 为等差数列,设公差为 ,

因为 ,所以 .且

当 时, 为常数列满足条件,即为数列 (或写通项公式 ),

此时数列 是首项为 的任意一个排列,共有 个数列;

………………………………………11分

当 时,符合条件的数列 只能是 ,此时数列 是 ,

有1个;

当 时,   又

这与 矛盾,所以此时 不存在.

综上满足条件的数列 的个数为 个(或回答 个).

……………………………………………13分

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