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2011珠海市高考二模数学试题(文)及答案

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2014-04-04

17.(本小题满分12分)

已知 , ,

(1)若 ,求事件A: 的概率;

(2)求 的概率。

解:(1)以 表示 的取值组合,则由列举法知:满足 , 且 的所有不同组合共有: 种;…………………………2分

其中事件A: 包含其中的 , 共9种;…………………………………………………………………………4分

则: 。…………………………………………………………5分

(2)设 ,则 ;……………………6分

设事件 ,则B表示的区域为图中阴影部分;

………………………………………8分

由 得: ,即 ;……………………………9分

由 :令 得: ;令 得: ;

∴ ;……………………………11分

∴ 。……………………………12分。

18.(本小题满分14分)

在平面直角坐标系中,点 、 ,已知 , 的垂直平分线 交 于 ,当点 为动点时,点 的轨迹图形设为 .

(1)求 的标准方程;

(2)点 为 上一动点,点 为坐标原点,曲线 的右焦点为 ,求 的最小值.

解:(Ⅰ).设

是 的垂直平分线,

点的轨迹图形 是 为焦点的椭圆    (3分)

其中 , ,

,     (4分)

点的轨迹图形 :    (6分)

(Ⅱ)解法一:由题设知 ,

在 上

设 ,      (8分)

(9分)

(10分)

(12分)

, 当 时, 的最小值为2.(14分)

解法二:设 , (7分)

则 ,  (8分)

(9分)

(10分)

点 满足 ,  , (11分)

=      (12分)

, 当 时, 的最小值为2.(14分)

19.(本小题满分14分)如图(1), 是直径 的圆上一点, 为圆O的切线, 为切点, 为等边三角形,连接 交 于 ,以 为折痕将 翻折到图(2)所示 的位置,点P为平面ABC外的点.

(1)求证:异面直线 和 互相垂直;

(2)若 为 上一点,且 , ,求三棱锥 的体积.

(1)证明:等边三角形 中 , 为 的切线, 为切点,

且 为 中点    (2分)

以 为折痕将 翻折到图(2)的 位置时,

仍有 ,

平面   (4分)

(5分)

(2)解:  ,

图(1)中 , 为 的直径, 为 的切线, 为切点,

中,  ,

,     (8分)

平面     (10分)

三棱锥 的体积

(12分)

为 上一点,且 ,

三棱锥 的体积

(14分)

20.(本小题满分14分)

设数列{an}为前n项和为Sn, ,数列{ Sn +2}是以2为公比的等比数列.

(1)求 ;

(2)抽去数列{an}中的第1项,第4项,第7项,……,第3n-2项,余下的项顺序不变,组成一个新数列{cn},若{cn}的前n项和为Tn,求证:

12 5

解:(1)由题意得: , ,(1分)

已知数列{ Sn +2}是以4为首项,2为公比的等比数列

所以有: ,     (4分)

当 时,  ,又    (6分)

所以:     (7分)

(2)由(1) 知: ,

∴数列{cn}为22,23,25,26,28,29,……,它的奇数项组成以4为首项,公比为8的等比数列;偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列;(8分)

∴当 n=2k-1(k∈N*)时,

Tn=(c1+ c3+…+c2k-1)+ (c2+ c4+…+ c2k-2)

=(22+25+…+23k-1)+( 23+26+…+23k-3)

=4(1-8k) 1-8 + =5 7 ×8k-12 7 ,(11分)

Tn+1= Tn+cn+1=5 7 ×8k-12 7 +23k = 12 7 ×8k-12 7 ,(10分)

Tn+1 Tn  = 12×8k-12 5×8k-12  = 12 5 +84 5(5×8k-12) ,

∵ 5×8k-12≥28,∴12 5

∴当n=2k (k∈N*)时,

Tn=(c1+ c3+…+c2k-1)+ (c2+ c4+…+ c2k)

=(22+25+…+23k-1)+( 23+26+…+23k)

=4(1-8k) 1-8 +8(1-8k) 1-8 =12 7 ×8k-12 7 ,(12分)

Tn+1= Tn+cn+1=12 7 ×8k-12 7 +23k+2  = 40 7 ×8k-12 7 ,(13分)

∴ Tn+1 Tn  = 40×8k-12 12×8k-12  = 10 3 +7 3(8k-1) ,∵8k-1≥7 ,∴10 3

∴ 12 5

21.(本小题满分14分)

函数 ,

(1)当 时,求 的单调区间;

(2) ,当 , 时, 恒有解,求 的取值范围.

解:(1) 的定义域为 ,          (2分)

(3分)

当 时, 即 ,则 在 和 上单增,在 上单减    (6分)

(2)由(1)知, ,当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,所以当 时 得到最小值为     (8分)

时, 恒有解,需  在 时有解       (9分)

即 有解,

令 ,    ,(10分)

在 上单增     (11分)

需 ,即 或   (13分)

的范围是  (14分)

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