17.解：设表示事件“此人于2月日到达该市”( =1,2，…，12).

依题意知,,且.---------------------------------------2分

(1)设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则,

所以.

即此人到达当日空气质量重度污染的概率为.--------------------------------------5分

(2)由题意可知，的所有可能取值为0,1,2，3且------------------------------------6分

P(=0)=P(A4∪A8∪A9)= P(A4)+P(A8)+P(A9)=,-------------------7分

P(=2)=P(A2∪A11)= P(A2)+P(A11) =,-------------------------------8分

P(=3)=P(A1∪A12)= P(A1)+P(A12) =,-------------------------------9分

P(=1)=1-P(=0)-P(=2)-P(=3)=,--------------10分

(或P(=1)=P(A3∪A5∪A6∪A7∪A10)= P(A3)+P(A5)+ P(A6)+P(A7)+P(A10)=)

所以的分布列为：

0 1 2 3

-----------------------------------------------------------------11分

故的期望.-------------------------------12分

18.(1)将侧面SAB绕侧棱SA旋转到与侧面SAD在同一平面内，如右图示，

则当B、P、H三点共线时，取最小值，这时，的

最小值即线段BH的长，--------------------------------------------1分

设,则，

在中，∵,∴,--------------------2分

在三角形BAH中，有余弦定理得：

∴.------------------------------------------------------------4分

(2)证明：∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥BC，又AB⊥BC，

∴BC⊥平面SAB，又平面SAB，∴EA⊥BC，-------------------------------6分

又∵AE⊥SB，∴AE⊥平面SBC ，-------------------------------------------------------7分

又平面SBC，∴EA⊥EK， -------------------------------------------------------8分

同理 AH⊥KH，∴E、H在以AK为直径的圆上---------------------------------------9分

(3)方法一：如图，以A为原点,分别以AB、AD、AS所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如右图示，----------------------------------------------------------------------------10分

则S(0，0，2)，C(1，1，0)，由(1)可得AE⊥SC，AH⊥SC，∴SC⊥平面AEKH，

为平面AEKH的一个法向量，-------------------11分

为平面ABCDF的一个法向量，-------------------12分

设平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的平面角为，

则----------------13分

∴平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值---14分

【方法二：  由可知,故,

又∵面AEKH，

面AEKH,  ∴面AEKH. ------------------------10分

设平面AEKH平面ABCD=l，∵面AEKH，

∴-------------------------------------------------------------11分

∵BD⊥AC，∴⊥AC，

又BD⊥SA，∴BD⊥平面SAC，又平面SAC，

∴BD⊥AK， ∴⊥AK，

∴为平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的一个平面角，--------------13分

∴平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.------------------------14分】

19.解：(1)由,得. ---------2分

由于是正项数列,所以.---------------------------------3分

由可得当时，，两式相减得，------------5分

∴数列是首项为1，公比的等比数列，----------------------------------7分

(2)∵---------------------------------8分

方法一：∴

--------------------------------------------------------------11分

---------------------------------------------------------------------------------------14分

【方法二：∵-----------------11分

----------------------------------------------14分】

20.解：(1)依题意知：椭圆的长半轴长，则A(2，0)，

设椭圆E的方程为-----------------------2分

由椭圆的对称性知|OC|=|OB| 又∵，|BC|=2|AC|

∴AC⊥BC，|OC|=|AC| ∴△AOC为等腰直角三角形，

∴点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(-1，-1) ，---------------------4分

将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得

∴所求的椭圆E的方程为----------------------------------------------5分

(2)解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则

即点Q在直线上，-----------------------------------------------------------7分

∴点Q即直线与椭圆E的交点，

∵直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部，

∴满足条件的点Q存在，且有两个.------------------------------------------------------9分

【解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则

即，--------①-------------------------------------------------7分

又∵点Q在椭圆E上，∴，-----------------②

由①式得代入②式并整理得：，-----③

∵方程③的根判别式，

∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个.---------------9分】

(3)解法一：设点，由M、N是的切点知，,

∴O、M、P、N四点在同一圆上，------------------------------------------10分

且圆的直径为OP,则圆心为，

其方程为，------------------------------11分

即-----④

即点M、N满足方程④，又点M、N都在上，

∴M、N坐标也满足方程---------------⑤

⑤-④得直线MN的方程为，------------------------------12分

令得，令得，----------------------------------13分

∴，又点P在椭圆E上，

∴，即=定值.-----------------------------------14分

【解法二：设点则----------10分

直线PM的方程为化简得--------------④

同理可得直线PN的方程为---------------⑤-------------------11分

把P点的坐标代入④、⑤得

∴直线MN的方程为，------------------------------------------------------12分

令得，令得，--------------------------------------------13分

∴，又点P在椭圆E上，

∴，即=定值.---------------------------------------------14分】

21.(1)证明：要证，即证，--------------------1分

令则------------3分

∴在单调递增，，

，即成立.----------------------4分

(2)解法一：由且可得---------------------------------------5分

令---------------------------------------------------------6分

由(1)知-----------------------------------8分

函数在单调递增，当时，

.----------------------------------------------------------9分

【解法二：令，则，-------------------5分

当时，，函数在上是增函数，有，------6分

当时，∵函数在上递增，在上递减，

对，恒成立，只需，即.---------------7分

当时，函数在上递减，对，恒成立，只需，

而，不合题意，-----------------------------------------------------------8分

综上得对，恒成立，.------------------------9分】

【解法三：由且可得---------------5分

由于表示两点的连线斜率，-----------------6分

由图象可知在单调递减，

故当时，--------------------------------8分

即-------------------------------------------------9分】

(3)当时，则，

要证，即证--------------------10分

由(1)可知又

-------------11分

∴

∴ ，-------------------------------------------13分

故得证.------------------------------------------14分

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