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2014年朝阳区高三数学一模(理)试题

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2014-04-06

(Ⅱ)证明: 因为平面 平面 ,

,且平面 平面 ,

所以 平面 .

所以 , .

又因为 为正方形,所以 ,

所以 两两垂直.

以点 为原点,分别以 为 轴,

建立空间直角坐标系(如图).

由题意易知 ,

设 ,则

, , , , , , .

因为 , , ,

且 ,

所以 , .

又因为 , 相交于 ,所以 平面 .     …………… 9分

(Ⅲ)易得 , .

设平面 的法向量为 ,则

所以  即

令 ,则 .

由(Ⅱ)可知平面 的法向量是 ,

所以  .

由图可知,二面角 的大小为锐角,

所以二面角 的余弦值为 .      ……………14分

18. (本小题满分13分)

解:函数 的定义域是 ,    .

(Ⅰ)(1)当 时, ,故函数 在 上单调递减.

(2)当 时, 恒成立,所以函数 在 上单调递减.

(3)当 时,令 ,又因为 ,解得 .

①当 时, ,所以函数 在 单调递减.

②当 时, ,所以函数 在 单调递增.

综上所述, 当 时,函数 的单调减区间是 ,

当 时,函数 的单调减区间是 ,单调增区间为 .…7分

(Ⅱ)(1)当 时,由(Ⅰ)可知, 在 上单调递减,

所以 的最小值为 ,解得 ,舍去.

(2)当 时,由(Ⅰ)可知,

①当 ,即 时,函数 在 上单调递增,

所以函数 的最小值为 ,解得 .

②当 ,即 时,函数 在 上单调递减,

在 上单调递增,所以函数 的最小值为 ,

解得 ,舍去.

③当 ,即 时,函数 在 上单调递减,

所以函数 的最小值为 ,得 ,舍去.

综上所述, .                                      ……………13分

19. (本小题满分14分)

解:(Ⅰ)由题意得 ,解 得 , .

所以椭圆 的方程是 .                   …………… 4分

(Ⅱ)以线段 为直径的圆过 轴上的定点.

由 得 .

设 ,则有 , .

又因为点 是椭圆 的右顶点,所以点 .

由题意可知直线 的方程为 ,故点 .

直线 的方程为 ,故点 .

若以线段 为直径的圆过 轴上的定点 ,则等价于 恒成立.

又因为 , ,

所以 恒成立.

所以 .

解得 .

故以线段 为直径的圆过 轴上的定点 .    …………… 14分

20. (本小题满分13分)

解:(Ⅰ)符合要求的递增等差数列为1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5,共4个.

所以 .                                      …………… 3分

(Ⅱ)设满足条件的一个等差数列首项为 ,公差为 , .

, , 的可能取值为 .

对于给定的 , , 当 分别取 时,可得递增等差数列 个(如: 时, ,当 分别取 时,可得递增等差数列91个: ; ; ; ,其它同理).

所以当 取 时,可得符合要求的等差数列的个数为:

.…………… 8分

(Ⅲ)设等差数列首项为 ,公差为 ,

, ,

记 的整数部分是 ,则 ,即 .

的可能取值为 ,

对于给定的 , ,当 分别取 时,可得递增等差数列 个.

所以当 取 时,得符合要求的等差数列的个数

易证 .

又因为 , ,

所以 .

所以

.

即 .                              …………… 13分

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