二、填空题：

题号

9、解析：若 ，则 ，解得 .

10、解析：由题意 .

11、解析：

12、解析：令 ，则 ，令 ，则 ，

令 ，则 ，令 ，则 ，

令 ，则 ，令 ，则 ，

…，所以 .

13、解析： ： ;则圆心坐标为 .

： 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为 ，所以要求的最短距离为 .

14、解析：由柯西不等式 ，答案： .

15、解析：显然 与 为相似三角形，又 ，所以 的面积等于9cm .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16、解: (Ⅰ)  ,    ……………………… 2分

∴ ，………………………………………………… 4分

解得 .………………………………………………………………… 6分

(Ⅱ)由 ,得： ,     ……………………… 8分

∴     ………………………………… 10分

∴ .…………………………………………………………… 12分

17、解：(1)  … 2分

则 的最小正周期 ，      …………………………………4分

且当 时 单调递增.

即 为 的单调递增区间(写成开区间不扣分).………6分

(2)当 时 ，当 ，即 时 .

所以 .      …………………………9分

为 的对称轴.      …………………12分

18、解：

(Ⅰ)解法一：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，

记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件 ，………………………2分

∵“两球恰好颜色不同”共 种可能，…………………………5分

∴ . ……………………………………………………7分

解法二：“有放回摸取”可看作独立重复实验， …………………………2分

∵每次摸出一球得白球的概率为 .………………………………5分

∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为 . ……………………………7分

(Ⅱ)设摸得白球的个数为 ，依题意得：

， ， .…………10分

∴ ，……………………………………12分

.……………………14分

19、(Ⅰ)证明:  连结 ， 与 交于点 ，连结 .………………………1分

是菱形, ∴ 是 的中点. ………………………………………2分

点 为 的中点, ∴ .   …………………………………3分

平面 平面 , ∴ 平面 .  ……………… 6分

(Ⅱ)解法一:

平面 , 平面 ,∴  .

，∴ .  …………………………… 7分

是菱形,  ∴ .

，

∴ 平面 .  …………………………………………………………8分

作 ，垂足为 ，连接 ，则 ,

所以 为二面角 的平面角. ………………………………… 10分

,∴ ， .

在Rt△ 中, =  ，…………………………… 12分

∴ .…………………………… 13分

∴二面角 的正切值是 . ………………………… 14分

解法二：如图，以点 为坐标原点，线段 的垂直平分线所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，令 ，……………2分

则 ， , .

∴ .  ……………4分

设平面 的一个法向量为  ,

由    ，得 ，

令 ，则 ，∴ .  …………………7分

平面 , 平面 ,

∴ .  ………………………………… 8分

，∴ .

是菱形,∴ .

，∴ 平面 .…………………………… 9分

∴ 是平面 的一个法向量,  .………………… 10分

∴ ，

∴ ，  …………………… 12分

∴ .…………………………………… 13分

∴二面角 的正切值是 .  ……………………… 14分

20、解:圆 的方程为 ,则其直径长 ,圆心为 ,设 的方程为 ,即 ,代入抛物线方程得: ,设 ，

有 ,   ………………………………2分

则 .  ……………………4分

故  …6分

, ………… 7分

因此 .    ………………………………… 8分

据等差, ,  …………… 10分

所以 ，即 , ，…………… 12分

即： 方程为 或 .   …………………14分

21、解：

(1)因为 ， …………………………2分

所以 ，满足条件 .   …………………3分

又因为当 时， ，所以方程 有实数根 .

所以函数 是集合M中的元素. …………………………4分

(2)假设方程 存在两个实数根 )，

则 ，……………………………………5分

不妨设 ，根据题意存在数

使得等式 成立，  ………………………7分

因为 ，所以 ，与已知 矛盾，

所以方程 只有一个实数根;………………………10分

(3)不妨设 ，因为 所以 为增函数，所以 ，

又因为 ，所以函数 为减函数， ……………………11分

所以 ， ………………………………12分

所以 ，即 ， …………13分

所以 .  …14分

2013惠州高三理科数学二模试题就分享到这里了，希望对大家冲刺高考有所帮助!

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