17.(本小题满分12分)

设函数 ，其中 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A “ 且 ”发生的概率.

(1) 若随机数 ;

(2) 已知随机函数 产生的随机数的范围为 ,  是算法语句 和 的执行结果.(注: 符号“ ”表示“乘号”)

【说明】本题主要考查随机数、随机函数的定义，古典概型，几何概型，线性规划等基础知识，考查学生转换问题的能力，数据处理能力.

解：由 知，事件A “ 且 ”，即  1分

(1) 因为随机数 ，所以共等可能地产生 个数对 ，

列举如下：

，

4分

事件A ： 包含了其中 个数对 ，即：

6分

所以 ，即事件A发生的概率为   7分

(2) 由题意， 均是区间 中的随机数，产生的点 均匀地分布在边长为4的正方形区域 中(如图)，其面积 .  8分

事件A ： 所对应的区域为如图所示的梯形(阴影部分)，

其面积为： . 10分

所以 ，

即事件 的发生概率为    12分

18.(本小题满分14分)

如图，四棱柱 的底面 是平行四边形， 分别在棱

上，且 .

(1)求证： ;

(2)若 平面 ，四边形 是边长为 的正方形，且 ， ，求线段 的长, 并证明：

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查线线、线面平行的性质和判定，线线垂直的性质和判定，考查空间想象能力、运算能力、把空间问题转化为平面问题的意识以及推理论证能力.

证明：(1) 四棱柱 的底面 是平行四边形，

1分

平面  平面

平面   平面  3分

平面  ，

平面 平面  4分

，

四点共面.  5分

平面 平面 ,平面 平面 ,

7分

(2)  设

四边形 ,四边形 都是平行四边形，

为 ， 的中点， 为 ， 的中点.  8分

连结 由(1)知 ,从而 .

， ，

10分

平面 ,四边形 是正方形,

， ， 均为直角三角形,得

,

，即 .  12分

平面  平面

.

平面

平面   13分

平面

14分

19.(本小题满分14分)

已知二次函数 的最小值为 且关于 的不等式 的解集为

,

(1)求函数 的解析式;

(2)求函数 的零点个数.

【说明】本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系，函数零点的概念，导数运算法则、用导数研究函数图像的意识、考查数形结合思想，考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力.

解：(1)  是二次函数, 且关于 的不等式 的解集为

,

, 且 .  4分

,且 ,

6分

故函数 的解析式为

(2)  ,

.  8分

的取值变化情况如下：

单调增加 极大值 单调减少 极小值 单调增加

11分

当 时,  ; 12分

又 . 13分

故函数 只有1个零点,且零点  14分

20.(本小题满分14分)

如图， 是抛物线 上的两动点( 异于原点 )，且 的角平分线垂直于 轴，直线 与 轴， 轴分别相交于 .

(1) 求实数 的值，使得 ;

(2)若中心在原点，焦点在 轴上的椭圆 经过 . 求椭圆 焦距的最大值及此时 的方程.

【说明】本题主要考查直线的斜率、抛物线的切线、

两直线平行的位置关系，椭圆的基本性质，

考查学生运算能力、推理论证以及分析问

题、解决问题的能力，考查数形结合思想、

化归与转化思想.

解:  (1) 设

由 的角平分线垂直于 轴知，直线 与直线 的倾斜角互补，从而斜率之和等于 ，即 化简得 . 3分

由点 知直线 的方程为 .

分别在其中令 及 得 . 5分

将 的坐标代入 中得 ,

即 , 7分

所以  8分

(2) 设椭圆 的方程为 ,

将 , 代入,得 , 9分

解得 , 由 得 .  10分

椭圆 的焦距

(或 ) 12分

当且仅当 时,上式取等号, 故 , 13分

此时椭圆 的方程为  14分

21.(本小题满分14分)

定义数列 ：  ，且对任意正整数 ，有

.记数列 前 项和为 .

(1)  求数列 的通项公式与前 项和 ;

(2)问是否存在正整数 ，使得 ?若存在，则求出所有的正整数对

;若不存在，则加以证明.

【说明】考查了等差、等比数列的通项公式、求和公式，数列的分组求和等知识，考查了学生变形的能力，推理能力，探究问题的能力，分类讨论的数学思想、化归与转化的思想以及创新意识.

解：(1)对任意正整数 ，  ，

. 1分

所以数列 是首项 ,公差为 等差数列;数列 是首项

,公比为 的等比数列.  2分

对任意正整数 , , . 3分

所以数列 的通项公式

或  4分

对任意正整数 ,

. 5分

6分

所以数列 的前 项和为 .

或   7分

(2)

,

从而 ,由 知  8分

①当 时,  ,即 ; 9分

②当 时,  ,即 ; 10分

③当 时,  ,则存在 ,

使得

从而 ,得 ,

，得 ,即 .   13分

综上可知,符合条件的正整数对 只有两对： 与  14分

2012广东省深圳市高三数学二模试题就分享到这里了，希望对大家冲刺高考有所帮助!

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