北京市西城区2012年高三二模试卷

数学(理科)参考答案及评分标准

2012.5

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1.D;    2.D;    3.B;     4.A;    5.C;    6.C;    7.C;   8.D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. ;                                10. ;                11. ， ;

12. ，            13. ， ;                  14.① ② ③.

注：11、12、13第一问2分，第二问3分;14题少填不给分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.

15.(本小题满分13分)

(Ⅰ)解： .                          ………………5分

(Ⅱ)解：                  ………………7分

………………8分

.                               ………………9分

因为  ，所以  ，                   ………………10分

所以当  ，即  时， 取得最大值 .   ………………11分

所以  ，  等价于  .

故当  ， 时， 的取值范围是 .  ………………13分

16.(本小题满分14分)

(Ⅰ)证明：取 中点 ，连结 ， .

因为 ，所以 .                            ………………1分

因为四边形 为直角梯形， ， ，

所以四边形 为正方形，所以 .   ……………2分

所以 平面 .      ………………3分

所以  .        ………………4分

(Ⅱ)解：因为平面 平面 ，且  ，

所以 平面 ，所以 .

由 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 . …………5分

因为三角形 为等腰直角三角形，所以 ，设 ，所以 .

所以  ，平面 的一个法向量为 . ………………7分

设直线 与平面 所成的角为 ，

所以  ，

即直线 与平面 所成角的正弦值为 .               ………………9分

(Ⅲ)解：存在点 ，且 时，有 // 平面 .             ………………10分

证明如下：由  ， ，所以 .

设平面 的法向量为  ，则有

所以    取 ，得 .              ………………12分

因为    ，且 平面 ，所以  // 平面 .

即点 满足 时，有 // 平面 .               ………………14分

17.(本小题满分13分)

(Ⅰ)解：设乙答题所得分数为 ，则 的可能取值为 .………………1分

;     ;

;     .       ………………5分

乙得分的分布列如下：

………………6分

.            ………………7分

(Ⅱ)由已知甲、乙至少答对 题才能入选，记甲入选为事件 ，乙入选为事件 .

则  ，                       ………………10分

.                                  ………………11分

故甲乙两人至少有一人入选的概率 . ……13分

18.(本小题满分13分)

(Ⅰ)解：依题意 ，设直线 方程为 .            ………………1分

将直线 的方程与抛物线的方程联立，消去 得 . …………3分

设 ， ，所以  ， . ① ………………4分

因为  ，

所以  .    ②            ………………5分

联立①和②，消去 ，得 . ………6分

所以直线 的斜率是 .     ………………7分

(Ⅱ)解：由点 与原点 关于点 对称，得 是线段 的中点，从而点 与点 到直线 的距离相等，

所以四边形 的面积等于 .                     ……………… 9分

因为                         ………………10分

，            ………………12分

所以  时，四边形 的面积最小，最小值是 .      ………………13分

19.(本小题满分14分)

(Ⅰ)解：当 时， ， .    ………………2分

由  ， 得曲线 在原点处的切线方程是 .…………3分

(Ⅱ)解： .                             ………………4分

① 当 时， .

所以 在 单调递增，在 单调递减.          ………………5分

当 ， .

② 当 时，令 ，得 ， ， 与 的情况如下：

故 的单调减区间是 ， ;单调增区间是 .  ………7分

③ 当 时， 与 的情况如下：

所以 的单调增区间是 ;单调减区间是 ， .

………………9分

(Ⅲ)解：由(Ⅱ)得，  时不合题意.                       ………………10分

当 时，由(Ⅱ)得， 在 单调递增，在 单调递减，所以 在 上存在最大值 .

设 为 的零点，易知 ，且 .从而 时， ; 时， .

若 在 上存在最小值，必有 ，解得 .

所以 时，若 在 上存在最大值和最小值， 的取值范围是 .

………………12分

当 时，由(Ⅱ)得， 在 单调递减，在 单调递增，所以 在 上存在最小值 .

若 在 上存在最大值，必有 ，解得 ，或 .

所以 时，若 在 上存在最大值和最小值， 的取值范围是 .

综上， 的取值范围是 .                    ………………14分

20.(本小题满分13分)

(Ⅰ)解：最佳排列 为 ， ， ， ， ， .     ………………3分

(Ⅱ)证明：设 ，则 ，

因为  ，

所以 ， ， ， ， 之中有 个 ， 个 .

按 的顺序研究数码变化，由上述分析可知有 次数码不发生改变，有 次数码发生了改变.

但是 经过奇数次数码改变不能回到自身，

所以不存在 ，使得 ，

从而不存在最佳排列 .                                   ………………7分

(Ⅲ)解：由 或 ，得

，

，

……

，

.

因为  ，

所以  与每个 有 个对应位置数码相同，有 个对应位置数码不

同，因此有

，

，

……，

，

.

以上各式求和得，  .                        ………………10分

另一方面， 还可以这样求和：设 中有 个 ， 个 ，则 .

………………11分

所以  解得 或

所以排列 中 的个数是 或 .                      ………………13分

高三二模数学试卷及答案就分享到这里了，希望对大家冲刺高考有所帮助!

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