三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本小题满分12分)

已知函数 ， .

(1)求 的最大值;

(2)设△ 中，角 、 的对边分别为 、 ，若 且 ，求角 的大小.

解：(1)           ……………………2分

.(注：也可以化为 ) …4分

所以 的最大值为 .         …………………………………………………………6分

(注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给4分)

(2)因为 ，由(1)和正弦定理，得 .………………7分

又 ，所以 ，即 ，         ………………9分

而 是三角形的内角，所以 ，故 ， ，  ………………11分

所以 ， ， .   ……………………………………12分

17.(本小题满分12分)

深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少用过一次的球).每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回.

(1)设第一次训练时取到的新球个数为 ，求 的分布列和数学期望;

(2)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率.

解：(1) 的所有可能取值为0，1，2.                ………………………………………1分

设“第一次训练时取到 个新球(即 )”为事件 ( 0，1，2).因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以

，                    ………………………………………3分

，                   ………………………………………5分

.                    ………………………………………7分

所以 的分布列为(注：不列表，不扣分)

0 1 2

的数学期望为 .       ……………………………………8分

(2)设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件 .

则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件 .

而事件 、 、 互斥，

所以， .

由条件概率公式，得

，   …………………………………9分

，  …………………………………10分

.   …………………………………11分

所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为

.          …………………………………12分

18.(本小题满分14分)

如图5，已知正方形 在水平面上的正投影(投影线垂直于投影面)是四边形 ，其中 与 重合，且 .

(1)证明 平面 ，并指出四边形 的形状;

(2)如果四边形 中， ， ，正方形 的边长为 ，

求平面 与平面 所成的锐二面角 的余弦值.

证明：(1)依题意， 平面 ，

平面 ，

平面 ，

所以 .             ……………2分

(法1)在 上取点 ，使得 ，

连结 ， ，如图5-1.

因为 ，且 ，

所以 是平行四边形， ，且 .

又 是正方形， ，且 ，

所以 ，且 ，故 是平行四边形，      ………………………………4分

从而 ，又 平面 ， 平面 ，

所以 平面 .           ………………………………………………………………6分

四边形 是平行四边形(注：只需指出四边形 的形状，不必证明).……7分

(法2)因为 ， 平面 ， 平面 ，

所以 平面 .

因为 是正方形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，

所以 平面 .           ………………………………………………………………4分

而 平面 ， 平面 ， ，

所以平面 平面 ，又 平面 ，所以 平面 . …………6分

四边形 是平行四边形(注：只需指出四边形 的形状，不必证明).……7分

解：(2)依题意，在Rt△ 中， ，

在Rt△ 中， ，

所以 .

(注：或 )    ………………………………………8分

连结 ， ，如图5-2，

在Rt△ 中， .

所以 ，故 .……10分

(法1)延长 ， 相交于点 ，

则 ，而 ，所以 .

连结 ，则 是平面 与平面

的交线.

在平面 内作 ，垂足为 ，

连结 .

因为 平面 ， 平面 ，所以 .

从而 平面 ， .

所以 是平面 与平面 所成的一个锐二面角.  …………………………12分

在Rt△ 中， ，

在Rt△ 中， .

所以 ，

即平面 与平面 所成的锐二面角 的余弦值为 .……………………14分

(法2)以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，

建立空间直角坐标系(如图5-3)，

则平面 的一个法向量 .

设平面 的一个法向量为 ，

因为 ， ， ，

所以 ， ，

而 ， ，

所以 且 ，

即 ，

取 ，则 ， ，所以平面 的一个法向量为 .

(注：法向量不唯一，可以是与 共线的任一非零向量)……………………12分

.

所以平面 与平面 所成的锐二面角 的余弦值为 . …………………14分

(法3)由题意，正方形 在水平面上的正投影是四边形 ，

所以平面 与平面 所成的锐二面角 的余弦值 .  …………………12分

而 ， ，所以 ，

所以平面 与平面 所成的锐二面角 的余弦值为 . …………………14分