19.(本小题满分14分)

已知数列 满足： ， ，且 ， .

(1)求通项公式 ;

(2)设 的前 项和为 ，问：是否存在正整数 、 ，使得 ?若存在，请求出所有的符合条件的正整数对 ，若不存在，请说明理由.

解：(1)当 是奇数时， ;当 是偶数时， .

所以，当 是奇数时， ;当 是偶数时， . ……………………2分

又 ， ，所以 ， ， ，…， ，…是首项为1，公差为2的等差数列;

， ， ，…， ，…是首项为2，公比为3的等比数列.        ……………………4分

所以， .          ………………………………………………6分

(2)由(1)，得

，

.        ………………………8分

所以，若存在正整数 、 ，使得 ，则

. ………………9分

显然，当 时， ;

当 时，由 ，整理得 .

显然，当 时， ;

当 时， ，

所以 是符合条件的一个解.                  ……………………………11分

当 时，

.       …………………………12分

当 时，由 ，整理得 ，

所以 是符合条件的另一个解.

综上所述，所有的符合条件的正整数对 ，有且仅有 和 两对. ……14分

(注：如果仅写出符合条件的正整数对 和 ，而没有叙述理由，每得到一组正确的解，给2分，共4分)

20.(本小题满分14分)

如图6，已知动圆 过定点 且与 轴相切，点 关于圆心 的对称点为 ，动点 的轨迹为 .

(1)求曲线 的方程;

(2)设 是曲线 上的一个定点，过点 任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线 相交于另外两点 、 .

① 证明：直线 的斜率为定值;

② 记曲线 位于 、 两点之间的那一段为 .若点 在 上，且点 到直线 的距离最大，求点 的坐标.

解：(1)(法1)设 ，因为点 在圆 上，

且点 关于圆心 的对称点为 ，

所以 ，               …………1分

且圆 的直径为 .…………2分

由题意，动圆 与 轴相切，

所以 ，两边平方整理得： ，

所以曲线 的方程为 .             ………………………………………………5分

(法2)因为动圆 过定点 且与 轴相切，所以动圆 在 轴上方，

连结 ，因为点 关于圆心 的对称点为 ，所以 为圆 的直径.

过点 作 轴，垂足为 ，过点 作 轴，垂足为 (如图6-1).

在直角梯形 中， ，

即动点 到定点 的距离比到 轴的距离大1. …………………………………………3分

又动点 位于 轴的上方(包括 轴上)，

所以动点 到定点 的距离与到定直线 的距离相等.

故动点 的轨迹是以点 为焦点，以直线 为准线的抛物线.

所以曲线 的方程为 .             ………………………………………………5分

(2)①(法1)由题意，直线 的斜率存在且不为零，如图6-2.

设直线 的斜率为 ( )，则直线 的斜率为 .  ……………………………6分

因为 是曲线 ： 上的点，

所以 ，直线 的方程为 .

由 ，

解之得 或 ，

所以点 的坐标为 ，

以 替换 ，得点 的坐标为 .       ………………………………8分

所以直线 的斜率 为定值.………………10分

(法2)因为 是曲线 ： 上的点，所以 ， .

又点 、 在曲线 ： 上，所以可设 ， ，     …………6分

而直线 ， 的倾斜角互补，

所以它们的斜率互为相反数，即 ，整理得 .   …………8分

所以直线 的斜率 为定值.      ………………10分

②(法1)由①可知，  ，  ，

，所以直线 的方程为 ，

整理得 .                     ……………………………………11分

设点 在曲线段 上，因为 、 两点的横坐标分别为 和 ，

所以 点的横坐标 在 和 之间，即 ，

所以 ，从而 .

点 到直线 的距离

. ………12分

当 时， .

注意到 ，所以点 在曲线段 上.

所以，点 的坐标是 . ……………………………………………………………14分

(法2)由①可知， ，结合图6-3可知，

若点 在曲线段 上，且点 到直线 的距离最大，

则曲线 在点 处的切线 .   ………………11分

设 ： ，由方程组 ，

消去 ，得 .

令△ ，整理，得 .……12分

代入方程组，解得 ， .

所以，点 的坐标是 . ……………………………………………………………14分

(法3)因为抛物线 ： 关于 轴对称，

由图6-4可知，当直线 的倾斜角大于 且趋近于 时，直线 的倾斜角小于 且趋近于 ，即当直线 的斜率大于0且趋近于0时，直线 的斜率小于0且趋近于0.

从而 、 两点趋近于点 关于 轴的对称点 . ………………11分

由抛物线 的方程 和①的结论，

得 ， .

所以抛物线 以点 为切点的切线 .

……………………12分

所以曲线段 上到直线 的距离最大的点就是点 ，

即点 、点 重合.

所以，点 的坐标是 . ……………14分

21.(本小题满分14分)

已知函数 ， ，其中 表示函数 在 处的导数， 为正常数.

(1)求 的单调区间;

(2)对任意的正实数 ，且 ，证明：

;

(3)对任意的 ，且 ，证明： .

解：(1) ， ，

.         ……………………………………2分

所以， 时， ， 单调递增;

时， ， 单调递减.

所以， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .  ……………………4分

(2)(法1)对任意的正实数 ，且 ，

取 ，则 ，由(1)得 ，

即 ，

所以， ……①;                     ………………………6分

取 ，则 ，由(1)得 ，

即 ，

所以， ……②.

综合①②，得 .  ………………………8分

(法2)因为 ，

所以，当 时， ;当 时， .

故 在 上单调递增，在 上单调递减.

所以，对任意的正实数 ，且 ，有 ， . ……………6分

由 ，得 ，即 ，

所以 .

故 .……①;

由 ，同理可证 .……②.

综合①②，得 .  ………………………8分

(3)对 ，令 ( )，则

，

显然 ， ，所以 ，

所以 ， 在 上单调递减.

由 ，得 ，即 .

所以 ， .        ……………………………10分

所以

.    ………………………………12分

又由(2)知 ，所以 .

.

所以， .……………………14分

2012届高三数学二模试题就分享到这里了，希望对大家掌握高考资讯有所帮助!

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