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2014-04-15
11.【解析】 .
12.【解析】 , ,∴f(x)=-x3+ax2,令f(x)=0,得x=0或x=a(a<0).∴S阴影= [0-(-x3+ax2)]dx=(14x4-13ax3)|0a=112a4=112,∴a= .
13.【解析】∵小指对的数是5+8n,又∵2013=251×8+5,∴数到2013时对应的指头是小指.
14.【解析】设 分别为椭圆的长轴长,虚轴长,(Ⅰ)当点 位于短轴端点时, 最大, 得 或设
, ;
(Ⅱ)取 中点 ,由 得
设 得,
,
15.【解析】由已知得 , ,解得 .
16.【解析】由 解得 ,即两曲线的交点为 .
17.【解答】(Ⅰ)由题意得 ,
即 ,由正弦定理得 ,
再由余弦定理得 , .
(Ⅱ) ,
,
,
,
所以 ,故 .
18.【解答】(Ⅰ)由已知条件得 , 即 ,则 .
(Ⅱ)解: 可能的取值为0,1,2,3.
; ;
;
的分布列为:
0 1 2 3
所以 .
19.【解答】(Ⅰ)证明:连结 ,交 与 ,连结 ,
在 中, 分别为两腰 的中点, ∴ ,
面 ,又 面 , 平面 ,
(Ⅱ)解法一:设平面 与 所成锐二面角的大小为 ,以 为空间坐标系的原点,分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系,则
设平面 的单位法向量为 ,则可设
设面 的法向量 ,应有
,
即: ,
解得: ,所以 ,
∴ ,所以平面 与 所成锐二面角为60°.
解法二:延长CB、DA相交于G,连接PG,过点D作DH⊥PG ,垂足为H,连结HC ,
∵矩形PDCE中PD⊥DC,而AD⊥DC,PD∩AD=D,
∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥PG,又CD∩DH=D,
∴PG⊥平面CDH,从而PG⊥HC,
∴∠DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角,
在 △ 中, , ,
可以计算 ,
在 △ 中, ,
所以平面 与 所成锐二面角为60°.
20.【解答】(Ⅰ)当 时, 或 .
由于{an} 是正项数列,所以 .
当 时, ,
整理,得 .
由于{an}是正项数列,∴ .
∴数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列.
从而 ,当 时也满足.∴ .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 , 又 是 上的下凸函数,
根据定理,得 ,
令 ,整理得 ,
, .
21.【解答】(Ⅰ) |QF|=3=2+ , =2.
(Ⅱ) 抛物线方程为 ,A( ), D( ), B( ) ,C( ),
, , ,
,, ,
,
所以直线AC和直线AB的倾斜角互补, .
(Ⅲ)设 ,则m=n=|AD|sin ,
,
即 ,
把 与抛物线方程 联立得: ,
, ,同理可得 ,
,
, .
22.【解答】(Ⅰ) ,由已知,得 ∴a=1.
此时 , ,
∴当 时, ;当 时, .
∴当x=0时,f(x)取得极小值,该极小值即为最小值,∴f(x)min=f(0)=0.
(Ⅱ)记 , ,
设
①当 时, , ,
, , 时满足题意;
②当 时, ,得 ,
当 , , 在此区间上是减函数, ,
∴ 在此区间上递减, 不合题意.
综合得 的取值范围为 .
法二:当 时, ,即 .
①当 时, ;②当 时, 等价于 .
记 , ,则 .
记 ,则 ,
当 时, , 在 上单调递增,
且 , 在 上单调递增,且 ,
当 时, ,从而 在 上单调递增.
由洛必达法则有, .
即当 时, ,所以当 时,所以 ,因此 .
的取值范围为 .
(Ⅲ)记 , ,令 解得 ,
当 时函数 有最大值,且最大值为 , ,
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