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2013年5月高考二模理科数学试卷

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2014-04-15

11.【解析】 .

12.【解析】 ,  ,∴f(x)=-x3+ax2,令f(x)=0,得x=0或x=a(a<0).∴S阴影=  [0-(-x3+ax2)]dx=(14x4-13ax3)|0a=112a4=112,∴a= .

13.【解析】∵小指对的数是5+8n,又∵2013=251×8+5,∴数到2013时对应的指头是小指.

14.【解析】设 分别为椭圆的长轴长,虚轴长,(Ⅰ)当点 位于短轴端点时,  最大, 得    或设

, ;

(Ⅱ)取 中点 ,由 得

设  得,

15.【解析】由已知得 , ,解得 .

16.【解析】由 解得 ,即两曲线的交点为 .

17.【解答】(Ⅰ)由题意得 ,

即 ,由正弦定理得 ,

再由余弦定理得 , .

(Ⅱ)  ,

所以 ,故 .

18.【解答】(Ⅰ)由已知条件得   , 即 ,则 .

(Ⅱ)解: 可能的取值为0,1,2,3.

;    ;

;

的分布列为:

0 1 2 3

所以   .

19.【解答】(Ⅰ)证明:连结 ,交 与 ,连结 ,

在 中, 分别为两腰 的中点,    ∴ ,

面 ,又 面 ,  平面  ,

(Ⅱ)解法一:设平面 与 所成锐二面角的大小为 ,以 为空间坐标系的原点,分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系,则

设平面 的单位法向量为 ,则可设

设面 的法向量 ,应有

即: ,

解得: ,所以  ,

∴  ,所以平面 与 所成锐二面角为60°.

解法二:延长CB、DA相交于G,连接PG,过点D作DH⊥PG ,垂足为H,连结HC ,

∵矩形PDCE中PD⊥DC,而AD⊥DC,PD∩AD=D,

∴CD⊥平面PAD  ∴CD⊥PG,又CD∩DH=D,

∴PG⊥平面CDH,从而PG⊥HC,

∴∠DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角,

在 △ 中, , ,

可以计算   ,

在 △ 中,  ,

所以平面 与 所成锐二面角为60°.

20.【解答】(Ⅰ)当 时, 或 .

由于{an} 是正项数列,所以 .

当 时, ,

整理,得 .

由于{an}是正项数列,∴ .

∴数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列.

从而 ,当 时也满足.∴ .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 , 又 是 上的下凸函数,

根据定理,得  ,

令 ,整理得 ,

, .

21.【解答】(Ⅰ) |QF|=3=2+  ,    =2.

(Ⅱ) 抛物线方程为 ,A( ), D( ), B( ) ,C( ),

, , ,

,, ,

所以直线AC和直线AB的倾斜角互补,  .

(Ⅲ)设 ,则m=n=|AD|sin ,

即 ,

把  与抛物线方程 联立得: ,

, ,同理可得 ,

, .

22.【解答】(Ⅰ)  ,由已知,得 ∴a=1.

此时 , ,

∴当 时, ;当 时, .

∴当x=0时,f(x)取得极小值,该极小值即为最小值,∴f(x)min=f(0)=0.

(Ⅱ)记 , ,

①当 时, , ,

, , 时满足题意;

②当 时, ,得 ,

当 , , 在此区间上是减函数, ,

∴ 在此区间上递减,  不合题意.

综合得 的取值范围为 .

法二:当 时, ,即 .

①当 时, ;②当 时, 等价于 .

记  , ,则 .

记   ,则 ,

当 时, , 在 上单调递增,

且 , 在 上单调递增,且 ,

当 时, ,从而 在 上单调递增.

由洛必达法则有, .

即当 时, ,所以当 时,所以 ,因此 .

的取值范围为 .

(Ⅲ)记 , ,令 解得 ,

当 时函数 有最大值,且最大值为  ,  ,

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