17.(本小题满分12分)

某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为 ，若中奖，商场返回顾客现金100元.某顾客现购买价格为2300的台式电脑一台，得到奖券4张.

(Ⅰ)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为 ，求 的分布列;

(Ⅱ)设该顾客购买台式电脑的实际支出为 (元)，用 表示 ，并求 的数学期望.

解：(Ⅰ) 的所有可能值为0，1，2，3，4.…………………………1分

，

.                  　　　　　   　  …………………………4分

其分布列为：

0 1 2 3 4

…………………………6分

(Ⅱ) ，

.                            　　　　   …………………………8分

由题意可知

，                       　　　　　   …………………………10分

元.   　　　　  …………………………12分

18.如图一，平面四边形 关于直线 对称， .把 沿 折起(如图二)，使二面角 的余弦值等于 .对于图二，完成以下各小题：

(Ⅰ)求 两点间的距离;

(Ⅱ)证明： 平面 ;

(Ⅲ)求直线 与平面 所成角的正弦值.

(图一)　　　　　　　　　　　　　　　　　　(图二)

解：(Ⅰ)取 的中点 ，连接 ，

由 ，得：

就是二面角 的平面角，

…………………………2分

又

平面 .                              　 …………………………8分

(Ⅲ)方法一：由(Ⅰ)知 平面

平面

∴平面 平面      　　　　　　　　　　　　　…………………………10分

平面 平面 ，

作 交 于 ，则 平面 ，

就是 与平面 所成的角，         　　　　…………………………12分

.                       …………………………14分

方法二：设点 到平面 的距离为 ，

∵                                 　　　　　　　…………………………10分

…………………………12分

于是 与平面 所成角 的正弦为

.                             　　　　　　　　 …………………………14分

方法三：以 所在直线分别为 轴， 轴和 轴建立空间直角坐标系 ，则

.  ………10分

设平面 的法向量为n ，则

n ， n ，

取 ，则n ，       ----------12分

于是 与平面 所成角 的正弦即

.              　　　　　　 …………………………14分

19.(本题满分14分)

已知 是以点 为圆心的圆 上的动点，定点 .点 在 上，点 在 上，且满足 .动点 的轨迹为曲线 .

(Ⅰ)求曲线 的方程;

(Ⅱ)线段 是曲线 的长为 的动弦， 为坐标原点，求 面积 的取值范围.

解：(Ⅰ)

∴ 为 的垂直平分线，∴ ,

又     ………………………………3分

∴动点 的轨迹是以点 为焦点的长轴为 的椭圆.

∴轨迹E的方程为 ………………………………………………………5分

(Ⅱ) 解法一∵线段 的长等于椭圆短轴的长，要使三点 能构成三角形，则弦 不能与 轴垂直，故可设直线 的方程为 ，

由 ，消去 ，并整理，得

设 ， ，则

，   …………………………………………8分 …14分

解法二：∵线段 的长等于椭圆短轴的长，要使三点 能构成三角形，则弦 不能与 轴垂直，故可设直线 的方程为 ，

由 ，消去 ，并整理，得

设 ， ，则

，   …………………………………………8分

，

.          ……………………………………………………14分

(注：上述两种解法用均值不等式求解可参照此标准给分)