20.(本题满分14分)

已知数列 满足： ，且  ( ).

(Ⅰ)求证：数列 为等差数列;

(Ⅱ)求数列 的通项公式;

(Ⅲ)求下表中前 行所有数的和 .

解：(Ⅰ)由条件 ，  ，得

……………………………………2分

∴ 数列 为等差数列.                   ……………………………………3分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得      ……………………………………4分

∴        ……………………………………7分

∴                                …………………………………… 8分

(Ⅲ)     ( )  ………………………10分

∴  第 行各数之和

( )……………………12分

∴ 表中前 行所有数的和

.                          ……………………14分

21. (本题满分14分)

已知函数 (常数 .

(Ⅰ) 当 时，求曲线 在点 处的切线方程;

(Ⅱ)讨论函数 在区间 上零点的个数( 为自然对数的底数).

解：(Ⅰ)当  时，

.                                   ………………………………………1分

.

又 ，

∴曲线 在点 处的切线方程为 .

即 .                                     ………………………………………3分

(Ⅱ)(1)下面先证明： .

设　 ，则

，

且仅当 ，

所以， 在 上是增函数，故

.

所以， ，即 .　　　　　　　　　………………………………………5分

(2)因为 ，所以

.

因为当 时， ，当 时， .

又 ，

所以 在 上是减函数，在 上是增函数.

所以，         　　　　　　 ………………………………………9分

(3)下面讨论函数 的零点情况.

①当 ，即 时，函数 在 上无零点;

②)当 ，即 时， ，则

而 ，

∴ 在 上有一个零点;

③当 ，即 时，  ,

由于 ， ，

，

所以，函数 在 上有两个零点.　　　　………………………………………………………13分

综上所述， 在 上，我们有结论：当 时，函数 无零点;当 时，函数 有一个零点;当 时，函数 有两个零点.            ………………………………14分

解法二：(Ⅱ)依题意，可知函数 的定义域为 ，

.           ………………………………………5分

∴当 时， ，当 时， .

在 上是减函数，在 上是增函数.

………………………………………6分

设 ( ，常数 .

∴当 时，

且仅当 时，

在 上是增函数.

∴当 时， ，

∴当 时，

取 ，得 由此得 .        ………………………………9分

取 得 由此得

. 　     …………………………10分

(1)当 ，即 时，函数 无零点;　  ………………………11分

(2)当 ，即 时， ，则

而 ，

∴函数 有一个零点;                         ………………………………12分

(3)当 ，即 时，  .

而  ，

∴函数 有两个零点.                    ………………………………………13分

综上所述，当 时，函数 无零点，当 时，函数 有一个零点，当 时，函数 有两个零点.                                   ………………………………14分

高考数学文科二模试题就分享到这里了，希望大家多做练习!

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