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2016-01-16
参考数据:
P(K2≥k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
解 (1)
更爱好体育 更爱好文娱 合计 男生 15 10 25 女生 5 10 15 合计 20 20 40 (3分)
(2)恰好是一男一女的概率是:=.(6分)
(3)K2==
=≈2.666 7…<2.706,(9分)
∴我们没有足够的把握认为性别与是否更喜欢体育有关系.(12分)
(19)(本小题满分12分)
如图,三棱锥中,底面,,,为的中点,点在上,且.
(1)求证:平面 ;
(2)求直线与平面所成角的弦值.解答:(1)证明:∵底面,且底面, ∴ ………1分
由,可得 ………………………2分
又 ,∴平面 ………………3分
注意到平面, ∴ …………………4分
,为中点,∴ ………………5分
, 平面 …………………………6分(2)如图,以为原点、所在直线为轴、为轴建立空间直角坐标系.
则 …………………………7分
. ………………8分
设平面的法向量.
由得,
即……………(1)
……………(2)
取,则,. …10分
,
直线与平面所成角的弦值. ………12分
的离心率为,其下焦点到点的距离为.不过原点O的直线与椭圆相交于A,B两点,且线段AB被直线平分.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求面积取最大值时直线的方程.
(21)(本小题满分12分)
已知函数1)求曲线在处的切线方程2)证明:解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
………2分
由题意可得f(1)=2,f′(1)=e,故曲线在处的切线方程; ………4分
(2)证明:由(1)知,f(x)=exln x+ex-1,
从而f(x)>1等价于xln x>xe-x-.………6分
设函数g(x)=xln x,
则g′(x)=1+ln x,
所以当x∈时,g′(x)<0;
当x∈时,g′(x)>0.
故g(x)在上单调递减,在上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g=-.………8分
设函数h(x)=xe-x-,则h′(x)=e-x(1-x).
所以当x∈(0,1)时,h′(x)>0;
当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0.
故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=-.………10分
因为gmin(x)=g=h(1)=hmax(x),
所以当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1. ………12分
请考生在第(22),(23)二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
(22)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
过点P作倾斜角为α的直线与曲线+=1交于点M求的最小值及相应的α值.解:设直线方程为(t为参数)将其代入x+2y=1并整理得(1+2α)t2+tcosα+=0则==又直线与曲线相交Δ=10α-4·(1+2α)≥0,得α≤.当α=(0≤α<π)即α=或α=时·有最小值已知函数f(x)=|x-a|其中>1.(1)当a=2时求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}求a的值.解:(1)当a=2时(x)+|x-4|=当x≤2时由-2x+6≥4解得x≤1;当2
又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2} 解得a=3.
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