宁夏银川二中2011届高三第一次模拟考试-数学(理)
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2011-04-20
第Ⅱ卷 (共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~24题
为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在答题卡中横线上.
(13)复数z满足z(2+i)=2i-1,则复数z的实部与虚部之和为 1
(14)
若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示(单位:cm),
则它的侧视图的面积为 .
解析:由已知得,正三棱锥的底面边长为1,正三棱锥的高为,
正三棱锥的俯视图是一个等边三角形,其底边长为1,高为,故侧视图的面积为S=.
(15)若x,y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是 (-4,2)
解析:作出可行域,由图象可知,即.
(16)如图所示,直线与双曲线C:的渐近线交于两点,记,.任取双曲线C上的点,若(、),则、满足的一个等式是 4ab=1 .
解析:.∴=a(2,1)+b(2,-1)=(2a+2b,a-b),
∴P(2a+2b,a-b). 代入双曲线方程得:4ab=1
三、解答题:(本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(17)(本小题满分12分)
在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c, 向量 p=(sinA,b+c), q=(a-c,sinC-sinB),
满足|p +q |=| p-q |.
(Ⅰ) 求角B的大小;
(Ⅱ)设m=(sin(C+),),n=(2k,cos2A) (k>1), m·n有最大值为3,求k的值.
解:(Ⅰ)由条件|p +q |=| p -q |,两边平方得p·q=0,又
p=(sinA,b+c),q=(a-c,sinC-sinB),代入得(a-c)sinA+(b+c)(sinC-sinB)=0,
根据正弦定理,可化为a(a-c)+(b+c)(c-b)=0,
即,又由余弦定理=2acosB,所以cosB=,B=.
(Ⅱ)m=(sin(C+),),n=(2k,cos2A) (k>1),
=2ksinA+-=-+2ksinA+=-+ (k>1).
而0<A<
,sinA∈(0,1],故当sin=1
时,m·n取最大值为2k-=3,得k
=.
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