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宁夏银川二中2011届高三第一次模拟考试-数学(理)

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2011-04-20

19)(本小题满分12分)
某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取60名同学将其成绩(百分制)(均为整数)分成6组后,得到部分频率分布直方图(如图),观察图形中的信息,回答下列问题.
)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;
)从频率分布直方图中,估计本次考试的平均分;
(Ⅲ)若从60名学生中随机抽取2人,抽到的学生成绩在[40,70)0分,在[70,100]1分,用X表示抽取结束后的总记分,求X的分布列和数学期望.
解:)设分数在[70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图,则有
0.010.015×2+0.025+0.005×10+x=1,可得x=0.3,
所以频率分布直方图如图所示.
)平均分为:
(Ⅲ)学生成绩在[40,70)的有0.4×60=24人,
[70,100]的有0.6×60=36人,并且X
可能取值是012.
所以X的分布列为
 
 
 
 

(20)(本小题满分12分)
已知m>1,直线 ,椭圆C   分别为椭圆C的左右焦点.
)当直线过右焦点 时,求直线的方程;
)设直线与椭圆C交于AB两点,△A  △B  的重心分别为GH.若原点O在以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围.
解:()因为直线 经过点  0),所以  ,得 .又因为m>1,所以 ,故直线的方程为 .
)设 ,由 ,消去x,得
则由 ,知 <8,且有
由题意知O  的中点. 可知
从而 ,设MGH的中点,则M .
由题意可知,2|MO|<|GH|, 所以 < , <0,
 =( )(
所以 <0,  又因为m>1 >0,从而1<m<2,
m的取值范围是(12.
21)(本小题满分12分)
已知函数  的图象过坐标原点O,且在点 处的切线的斜率是 .
求实数 的值;
 在区间 上的最大值;
(Ⅲ)对任意给定的正实数 ,曲线 上是否存在两点PQ,使得 是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 轴上?说明理由。
解:()当 时, ,则
依题意得: ,即     解得
)由()知,
 时,
 变化时, 的变化情况如下表:
0
0
+
0
 单调递减
极小值
单调递增
极大值
 单调递减
     上的最大值为2.
  .  , 最大值为0
   上单调递增。  最大值为
综上,当 时,即 时, 在区间 上的最大值2
 时,即 时, 在区间 上的最大值
(Ⅲ)假设曲线 上存在两点PQ满足题设要求,则点PQ只能在 轴两侧。
不妨设 ,则 ,显然
 是以O为直角顶点的直角三角形,
     *
若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点PQ
若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点PQ.
 ,则 代入*)式得:
 ,而此方程无解,因此 。此时
代入*)式得:         **
   ,则
  上单调递增, ∵       , 的取值范围是
对于 ,方程**)总有解,即方程*)总有解。
因此,对任意给定的正实数 ,曲线 上存在两点PQ,使得 是以O为直角顶点的直角
三角形,且此三角形斜边中点在 轴上。
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

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