说明：

1.判断函数的奇偶性首先要检验定义域是否关于原点对称。特别应注意，求解定义域时，不能化简解析式后再求解。

2.在判断是否有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立时，必要时可使用等价变形形式：f(-x)±f(x)=0

例2：(1)已知：f(x)是奇函数，且x>0时f(x)=x|x-2|

求x<0的解析式

解：设x<0,则-x>0

-，

说明：1.利用函数的奇偶性求解析式，要将自变量x设在所求的范围内。

2.转化带入利用定义构造方程。

(2)定义在R上的奇函数f(x)且满足f(3+x)=f(3-x)，若x∈(0,3),f(x)=2x

求：当x∈(-6,-3)时，f(x)的解析式。

解：x∈(-6,-3) -x∈(3,6),6-(-x)∈(0,3)

-

∴f(x)=-2x+6

说明：1.合理分解题意是关键。

2.此题还可以应用周期性进行求解。

例3：已知：函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x)

(1)求证：f(x)为周期函数;

(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=-x，求使得f(x)=--的所有x。

(1)解：-

∴f(x)=f(x+4)

f(x)为周期是4的周期函数。

(2)解：x∈[-1,0],-x∈[0,1]

-

∴f(x)=-x,x∈[-1,0]

∴f(x)=-x,x∈[-1,1]

x∈(1,3),∴-1

-

∴f(x)=--(x-2),x∈[1,3]

-

x∈[-1,3),f(x)=--,x=-1

∴x=4n-1,n∈Z

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