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2012年山东省高考数学试题(附答案和解释)

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2014-03-07

(18)(本小题满分12分)

在如图所示的几何体中,四边形AB CD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF。

(Ⅰ)求证:BD⊥平面AED;

(Ⅱ)求二面角F-BD-C的余弦值。

解析:(Ⅰ)在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=60°,CB=CD,

由余弦定理可知 ,

即 ,在 中,∠DAB=60°, ,则 为直角三角形,且 。又AE⊥BD, 平面AED, 平面AED,且 ,故BD⊥平面AED;

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ,设 ,则 ,建立如图所示的空间直角坐标系, ,向量 为平面 的一个法向量.

设向量 为平面  的法向量,则 ,即 ,

取 ,则 ,则 为平面 的一个法向量.

,而二面角F-BD-C的平面角为锐角,则

二面角F-BD-C的余弦值为 。

(19)(本小题满分12分)

现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 ,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为 ,每命中一次得2分,没有命中得0分。该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。

(Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率;

(Ⅱ)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX

解析:(Ⅰ) ;

(Ⅱ)

E X=0× +1× +2× +3× +4× +5× = .

(20)(本小题满分12分)

在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)对任意m∈N﹡,将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为b m,求数列{bm}的前m项和Sm。

解析:(Ⅰ)由a3 +a4+a5=84,a5=73可得 而a9=73,则 , ,于是 ,即 .

(Ⅱ)对任意m∈N﹡, ,则 ,

即 ,而 ,由题意可知 ,

于是

即 .

(21)(本小题满分13分 )

在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为 。

(Ⅰ)求抛物线C的方程;

(Ⅱ)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;

(Ⅲ)若点M的横坐标为 ,直线l:y=kx+ 与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当 ≤k≤2时, 的最小值。

解析:(Ⅰ)F抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F ,设M , ,由题意可知 ,则点Q到抛物线C的准线的距离为  ,解得 ,于是抛物线 C的方程为 .

(Ⅱ)假设存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M,

而 , , ,

, ,

由 可得 , ,则 ,

即 ,解得 ,点M的坐标为 .

(Ⅲ)若点M的横坐标为 ,则点M , 。

由 可得 ,设 ,

圆 ,

于是 ,令

设 , ,

当 时, ,

即当 时 .

故当 时, .

22(本小题满分13分)

已知函数f(x) =  (k为常数,e=2.71828……是自然对数的底数),曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行。

(Ⅰ)求k的值;

(Ⅱ)求f(x)的单调区间;

(Ⅲ)设g(x)=(x2+x)  ,其中 为f(x)的导函数,证明:对任意x>0, 。

解析:由f(x) =  可得  ,而 ,即 ,解得 ;

(Ⅱ)  ,令 可得 ,

当 时, ;当 时, 。

于是 在区间 内为增函数;在 内为减函数。

简证(Ⅲ) ,

当 时,  , .

当 时,要证 。

只需证 ,然后构造函数即可证明。

2012年山东省高考数学试题就介绍到这里了,希望能帮助同学们更好的复习本门课程,更多精彩学习内容请继续关注精品学习网!

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