又 ，         ……..3分

平面 ，                         …….5分

(2)由(1)知 平面 ，

又 平面 ， ，

取 的中点 , 连结 ，又 ，

则 .

取 的中点 ，连结 ，则 ,

. 平面 ，

则过 向平面 引垂线,垂足必落在 上

为直线 与平面 所成的角……8分

连结 ，在 中， ， ，

取 的中点 ，连结 ， ，

在 中， ， ， .     ………..10分

.

与平面 所成的角的的正弦值为 .             ………..12分

解法二：

(1)以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，

, . ….. 2分

,     …..3分

又因为

所以， 平面 .          ………..5分

(2)设 为平面 的一个法向量.

由 ， ，

得     取 ，则 .     ……….8分

又                      …….9分

设 与平面 所成的角为 ，则 ,

即 与平面 所成的角的的正弦值 .   ………..12分

19、(本题满分13分)

如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的点 的距离是 ，从点 沿海岸正东 处有一个城镇。假设一个人驾驶的小船的平均速度为 ，步行的速度是 ，用 (单位： )表示他从小岛到城镇的时间， (单位： )表示此人将船停在海岸处距 点的距离。

(1)请将 表示为 的函数 .

(2)将船停在海岸处距点 多远时从小岛到城镇所花时间最短?最短时间是多少?

解：

(1)

………5分

(2)  ………7分

,

令 得 .     ………9分

当 时, , 单调递减; 当 时, , 单调递增. ……11分

故当 时, 最小,且最短时间为 .               ………13分

20、(本题满分13分)

(1)用导数证明: 若 ,则 .

(2)若 对 恒成立，求 的最大值与 的最小值.

解：(1)设f(x) = x - sinx，g(x) = tanx - x，x∈(0，π/2) f'(x) = 1 - cosx > 0 g'(x) = (1/cos²x) - 1 > 0 由

于f(x)和g(x)在(0，π/2)上都是单调递增函数 所以f(x) > f(0) = 0，g(x) > g(0) = 0 ==> x - sinx

> 0 ， tanx - x > 0 => x > sinx ，tanx > x ∴sinx < x < tanx，x∈(0，π/2)   ………6分

(2)当x>0时，“sin xx>a”等价于“sin x-ax>0”，“sin xx

令g(x)=sin x-cx，则g′(x)=cos x-c.

讨论：

当c≤0时，g(x)>0对任意x∈0，π2恒成立.

当c≥1时，因为对任意x∈0，π2，g′(x)=cos x-c<0，所以g(x)在区间0，π2上单

调递减，从而g(x)

当0

g(x)与g′(x)在区间0，π2上的情况如下：

x (0，x0) x0 x0，π2

 

g′(x) + 0 -

g(x) 递增  递减

因为g(x)在区间(0，x0)上是增函数，所以g(x0)>g(0)=0. 于是“g(x)>0对任意x∈0，π2恒

成立”当且仅当gπ2=1-π2c≥0，即0

综上所述，当且仅当c≤2π时，g(x)>0对任意x∈0，π2恒成立;当且仅当c≥1时，g(x)<0

对任意x∈0，π2恒成立.

所以，若 对任意 恒成立，则 的最大值为 ， 的最小值为1.

]                                                          ………13分

21. (本小题满分13分)

已知函数   为自然对数的底数.

(1)讨论函数 在区间 上的单调性，并求出极值.

(2)若函数 有两个不同的零点 ，求证： .

解：(1)因为f ′(x)=1x-m=1-mxx.      …1分

①当m≤0时， f ′(x)>0，所以函数f (x)在 上单调递增，此时f (x)无极值. …2分

②当 时，令f ′(x)=0，得 .

若 ，即 时，当 时,  f ′(x)<0，函数f (x)在 上单调递

减，此时f (x)无极值;                              ……………………4分

若 ,即 时,由函数 的图像可知函数f (x)在 上单调递

增，在 上单调递减，此时f (x)有极大值为 ,

无极小值。      ………………………6分

综上，当m≤0时，f (x)在 上单调递增，f (x)无极值.

当 时，f (x)在 上单调递增，在 上单调递减，此时f (x)有极

大值为 ,无极小值.

当 时，f (x)在 上单调递减，f (x)无极值.    ……………7分

(2)不妨设x1>x2>0.因为f (x1)=f (x2)=0，所以lnx1-mx1=0，lnx2-mx2=0，

可得lnx1+lnx2=m(x1+x2)，lnx1-lnx2=m(x1-x2).

要证x1x2 e2，即证lnx1+lnx2 2，也就是m(x1+x2) 2.

因为m=lnx1-lnx2x1-x2，所以即证lnx1-lnx2x1-x2 2x1+x2，即lnx1x2 2(x1-x2)x1+x2.………10分

令x1x2=t，则t>1，于是lnt  2(t-1)t+1.

令(t)=lnt-2(t-1)t+1(t>1)，则 ′(t)=1t-4(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2>0.

故函数(t)在(1，+∞)上是增函数，所以(t)>(1)=0，即lnt>2(t-1)t+1成立.

所以原不等式成立.                               ……………………13分

2014秋高三数学上第二次月考检测就分享到这里了，更多相关信息请继续关注高考数学试题栏目！