三、判断三角形形状

10.(2015河北邯郸三校联考,7)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为(　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.不确定

答案:B

解析:bcos C+ccos B=asin A,

∴由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A,

即sin(B+C)=sin Asin A,可得sin A=1,

故A=,故三角形为直角三角形.

故选B.

11.在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2ccos A,c=2bcos A,则△ABC的形状为(　　)

A.直角三角形 B.锐角三角形

C.等边三角形 D.等腰直角三角形

答案:C

解析:由b=2ccos A,根据正弦定理,

得sin B=2sin Ccos A,

在三角形中,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,

代入上式,可得sin Acos C+cos Asin C=2sin Ccos A,

即sin Acos C-cos Asin C=sin(A-C)=0,

又-πb可知B=150°不合题意,B=30°.

∴C=180°-60°-30°=90°.

7.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3b=2asin B,且cos B=cos C,则△ABC的形状是　　　　.

答案:等边三角形

解析:由正弦定理可将3b=2asin B化为3sin B=2sin Asin B.sin A=.

∵△ABC为锐角三角形,A=.

又cos B=cos C,0b,则B=　　　　.

答案:

解析:由正弦定理=2R,

得2Rsin Asin Bcos C+2Rsin Csin Bcos A=×2Rsin B.

由0b,所以在△ABC中,B为锐角,则B=.

9.在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,试判断△ABC的形状.

解:由已知得,

由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B(R为△ABC的外接圆半径),

.

∴sin Acos A=sin Bcos B.

∴sin 2A=sin 2B.

又A,B为三角形的内角,

2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=.

△ABC为等腰或直角三角形.

10.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对应的边,且b=6,a=2,A=30°,求ac的值.

解:由正弦定理得

sin B=.

由条件b=6,a=2,知b>a,所以B>A.

B=60°或120°.

(1)当B=60°时,C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.

在Rt△ABC中,C=90°,a=2,b=6,则c=4,

ac=2×4=24.

(2)当B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,A=C,则有a=c=2.

ac=2×2=12.

正弦定理专项训练分享到这里，更多内容请关注高考数学试题栏目。

相关链接

2016届高考数学复习同角三角函数的基本关系式经典例题 

2016届安徽九姑中学高考数学四种命题经典例题（含解析）