答案解析

1.【解析】选B.由题意得2a=2b,即a=b.

又a2=b2+c2,所以有b=c,∴a=c,得离心率e=.

2.【解析】选A.圆C的方程可化为(x-1)2+y2=16.

知其半径r=4,∴长轴长2a=4,∴a=2.

又e==,

∴c=1,b2=a2-c2=4-1=3,

∴椭圆的标准方程为+=1.

3.【解析】选C.因为m是2和8的等比中项，所以m2=16，所以m=±4.当m=4时，圆锥曲线为椭圆x2+=1，离心率为，当m=-4时，圆锥曲线为双曲线x2-=1，离心率为，综上选C.

4.【解析】选D.由题意知a=2，所以|BF2|+|AF2|+|AB|=4a=8.因为|BF2|+|AF2|的最大值为5，所以|AB|的最小值为3，当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A(-c，)，B(-c，-)，代入椭圆方程得+=1.又c2=a2-b2=4-b2，所以+=1，即1-+=1，所以=，解得b2=3，所以b=，选D.

5.【解析】选B.由题意知点P的坐标为(-c,)或(-c,-),因为∠F1PF2=60°,那么=,∴2ac=b2,这样根据a,b,c的关系式化简得到结论为.

6.【思路点拨】由于c=1,所以只需长轴最小,即公共点P,使得|PF1|+|PF2|最小时的椭圆方程.

【解析】选C.由于c=1,所以离心率最大即为长轴最小.

点F1(-1,0)关于直线x-y+3=0的对称点为F′(-3,2),

设点P为直线与椭圆的公共点,

则2a=|PF1|+|PF2|=|PF′|+|PF2|≥|F′F2|=2.

取等号时离心率取最大值,

此时椭圆方程为+=1.

7.【解析】根据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为+=1(a>b>0).

∵e=,∴=.根据△ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=2,所以椭圆方程为+=1.

答案:+=1

8.【解析】由已知F1(-3,0),F2(3,0),所以直线PF2的方程为y=-4(x-3),代入16x2+25y2=400,整理得76x2-450x+650=0,解得:x=或x=(因为x<3,故舍去),

又点P(x,y)在椭圆上,且在x轴上方,得16×()2+25y2=400,

解得y=2,

∴=|F1F2|·y=×6×2=6.

答案:6

9.【思路点拨】关键是由l1, l2的交点在此椭圆的内部,得到a,b,c间的关系,进而求得离心率e的取值范围.

【解析】由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=c2上.

又点P在椭圆内部,所以有c20,∴k2>,………………②

则x1+x2=,x1·x2=,代入①,得

(1+k2)·-2k·+4=0.即k2=4,

∴k=2或k=-2,满足②式.

所以,存在直线l,其方程为y=2x-2或y=-2x-2.

11.【解析】(1)抛物线y2=8x的焦点为A(2,0),依题意可知a=2.

因为离心率e==,所以c=.

故b2=a2-c2=1,

所以椭圆C的方程为:+y2=1.

(2)直线l:y=kx+,

由

消去y可得(4k2+1)x2+

8kx+4=0,

因为直线l与椭圆C相交于P,Q,

所以Δ=(8k)2-4(4k2+1)×4>0,

解得|k|>.

又x1+x2=,x1x2=,

设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点M(x0,y0),

因为线段PQ的中点横坐标是-,

所以x0===-,

解得k=1或k=,

因为|k|>,所以k=1,

因此所求直线l:y=x+.

12.【解析】(1)由题意得,F1(-,0),F2(,0),

圆F1的半径为4,且|MF2|=|MP|,

从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4>|F1F2|=2,

∴点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中长轴2a=4,焦距2c=2,

则短半轴b===1,

椭圆方程为:+ y2=1.

(2)设K(x0,y0),则+=1.

∵|HK|=|KQ|,∴Q(x0,2y0),∴OQ==2,

∴Q点在以O为圆心,2为半径的圆上,即Q点在以AB为直径的圆O上.

又A(-2,0),∴直线AQ的方程为y=(x+2).

令x=2,得D(2,).

又B(2,0),N为DB的中点,∴N(2,).

∴=(x0,2y0),=(x0-2,).

∴·=x0(x0-2)+2y0·=x0(x0-2)+=x0(x0-2)+

=x0(x0-2)+x0(2-x0)=0,

∴⊥,∴直线QN与以AB为直径的圆O相切.

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