二、填空题(每小题4分，共12分)

7.(2014•无锡高二检测)已知直线m 平面α，直线n 平面α，m∩n=M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，则直线a，b的位置关系是________.

【解析】因为直线a⊥m，a⊥n，直线m 平面α，直线n 平面α，m∩n=M，所以a⊥α.同理可证直线b⊥α，所以a∥b.

答案：a∥b

8.若三个平面两两垂直，它们交于一点A，空间一点C1到三个平面的距离分别为5，6，7，则AC1的长为________.

【解析】如图构造长方体，可知长方体的长、宽、高分别为7，6，5，AC1为体对角线，所以AC1= = .

答案：

9.AB是☉O的直径，点C是☉O上的动点(点C不与A，B重合)，过动点C的直线VC垂直于☉O所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点，则下列结论中正确的是________(填写正确结论的序号).

(1)直线DE∥平面ABC.

(2)直线DE⊥平面VBC.

(3)DE⊥VB.

(4)DE⊥AB.

【解析】因为AB是☉O的直径，点C是☉O上的动点(点C不与A，B重合)，

所以AC⊥BC，

因为VC垂直于☉O所在的平面，

所以AC⊥VC，又BC∩VC=C，

所以AC⊥平面VBC.

因为D，E分别是VA，VC的中点，

所以DE∥AC，又DE⊈平面ABC，AC 平面ABC，

所以DE∥平面ABC，

DE⊥平面VBC，DE⊥VB，

DE与AB所成的角为∠BAC是锐角，故DE⊥AB不成立.

由以上分析可知(1)(2)(3)正确.

答案：(1)(2)(3)

三、解答题(每小题10分，共20分)

10.(2014•开封高一检测)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.

(1)求证：AB⊥A1C.

(2)若AB=CB=2，A1C= ，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.

【解析】(1)如图，

取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.

因为CA=CB，所以OC⊥AB.

由于AB=AA1，∠BAA1=60°，故△AA1B为等边三角形，

所以OA1⊥AB.

因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C.

又A1C 平面OA1C，故AB⊥A1C.

(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，

所以OC=OA1= .

又A1C= ，则A1C2=OC2+O ，故OA1⊥OC.

因为OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，所以OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.

又△ABC的面积S△ABC= ，故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×OA1= × =3.

11.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1= ，D是A1B1的中点.

(1)求证：C1D⊥平面A1B.

(2)当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论.

【解析】(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，

所以A1C1=B1C1=1，且∠A1C1B1=90°.

又D是A1B1的中点，

所以C1D⊥A1B1.

因为AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，

所以AA1⊥C1D，又AA1∩A1B1=A1，

所以C1D⊥平面A1B.

(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求.

证明：因为C1D⊥平面AA1B1B，AB1 平面AA1B1B，

所以C1D⊥AB1.

又AB1⊥DF，DF∩C1D=D，

所以AB1⊥平面C1DF.

【变式训练】如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB.

【证明】因为SA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以SA⊥BC，又因为BC⊥AB，

SA∩AB=A，

所以BC⊥平面SAB，

又AE 平面SAB，所以BC⊥AE.

因为SC⊥平面AEFG，所以SC⊥AE.

又BC∩SC=C，所以AE⊥平面SBC，

所以AE⊥SB.

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