答案　x2-2y2=4

9.若动点P在y=2x2+1上移动，则点P与点Q(0，-1)连线的中点的轨迹方程是________________.

解析　设PQ的中点M(x，y)，P(x0，y0)，则x=x0+02，y=y0-12，

即x0=2x，y0=2y+1.

又∵点P在y=2x2+1上，∴y0=2x20+1，

即2y+1=2(2x)2+1，∴y=4x2.

即y=4x2为所求的轨迹方程.

答案　y=4x2

10.已知定点A，B，且AB=2a(a>0)，如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2：1，求点P的轨迹方程.

解　以AB所在直线为x轴，以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.

则A(-a,0)，B(a,0).

设点P的坐标为(x，y)，由题意得|PA||PB|=2，

即x+a2+y2x-a2+y2=2.

化简整理得3x2-10ax+3y2+3a2=0.

即(x-53a)2+y2=169a2(a>0)为所求的轨迹方程.

11.如图所示，从曲线x2-y2=1上一点Q引直线l：x+y=2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程.

解　设P点的坐标为(x，y)，曲线上点Q的坐标为(x0，y0)，因为点P是线段QN的中点，所以N的坐标为(2x-x0,2y-y0).

又点N在直线l上，

∴2x-x0+2y-y0=2，

即x0+y0=2x+2y-2.①

又QN⊥l，∴kQN=2y-y0-y02x-x0-x0=1

即x0-y0=x-y.②

由①②得

x0=12(3x+y-2)，

y0=12(x+3y-2).

又因为点Q在曲线上，

∴14(3x+y-2)2-14(x+3y-2)2=1.

化简整理得

(x-12)2-(y-12)2=12.

故线段QN的中点P的轨迹方程为

(x-12)2-(y-12)2=12.

12.已知两点A(0,1)，B(1,0)，且|MA|=2|MB|，求证：点M的轨迹方程为x-432+y+132=89.

证明　设点M的坐标为(x，y)，由两点间距离公式，得

|MA|=x-02+y-12，

|MB|=x-12+y-02.

∵|MA|=2|MB|，

∴x-02+y-12=2x-12+y-02.

两边平方，并整理得

3x2+3y2+2y-8x+3=0.

即x-432+y+132=89.①

∴轨迹上每一点的坐标都是方程①的解.

设M1(x1，y1)是方程①的解，

则x1-432+y1+132=89，

即3x21+3y21-8x1+2y1+3=0.

|M1A|=x1-02+y1-12

=x21+y21-2y1+1

=x21+y21+3x21+3y21-8x1+3+1

=2x1-12+y1-02=2|M1B|.

即M1(x1，y1)在符合条件的曲线上.

综上可知，点M的轨迹方程为x-432+y+132=89.

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