2011年高三年级十三校第二次联考-数学(理科)
21．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
设
，
，定义一种向量运算：
，已知
，
，，定义一种向量运算：，已知，
，点
在函数
的图象上运动，点
在函数
的图象上运动，且满足
（其中
为坐标原点）。（1）求函数
的解析式；
的解析式；（2）若函数
，且
的定义域为
，值域为
，求
的值。
，且的定义域为，值域为，求 的值。21．（1）设
，
，则由
得
。……………（2分）
，，则由得。……………（2分） 即
，消去
，得
，即
。……（6分）
，消去，得，即。……（6分）（2）
，（9分）
，（9分） 因为
，所以
，所以
。………………………（10分）
，所以，所以。………………………（10分） 当
时，
，解得
。当
时，
，解得
。………（14分）
时，，解得。当时，，解得。………（14分）22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
将数列
中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
|
构成的数列为
，已知：
①在数列中，
，对于任何
，都有
；
中，，对于任何，都有；②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为
的等比数列；
的等比数列；③
。请解答以下问题：
。请解答以下问题：（1）求数列的通项公式；（2）求上表中第
行所有项的和
；
的通项公式；（2）求上表中第行所有项的和；（3）若关于
的不等式
在
上有解，求正整数
的取值范围。
的不等式在上有解，求正整数的取值范围。22．（1）由
，得数列
为常数列。故
，所以
。………………（4分）
，得数列为常数列。故，所以。………………（4分） （2）∵
，∴表中第一行至第九行共含有
的前63项，
在表中第十行第三列。（7分）
，∴表中第一行至第九行共含有的前63项，在表中第十行第三列。（7分） 故
，而
，∴
。………………………………………………………………（9分）
，而，∴。………………………………………………………………（9分） 故
。…………………………………………………………………（10分）
。…………………………………………………………………（10分） （3）
在
上单调递减，故
的最小值是
。（11分）
在上单调递减，故的最小值是。（11分） 若关于
的不等式
在上有解，
的不等式在上有解， 设
，则必须
。……………………………………………（12分）
，则必须。……………………………………………（12分）
（或
），
，函数
当
且
时单调递增。…………………………………………（14分）而
，
，所以
的取值范围是大于7的一切正整数。…………………………（16分）
，，所以的取值范围是大于7的一切正整数。…………………………（16分）23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）
在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆
的左、右顶点分别为
，椭圆
的右焦点为
，过作一条垂直于轴的直线与椭圆相交于
，若线段
的长为
。
的左、右顶点分别为，椭圆的右焦点为，过作一条垂直于轴的直线与椭圆相交于，若线段的长为。（1）求椭圆的方程；
的方程；（2）设
是直线
上的点，直线
与椭圆分别交于点
，求证：直线
是直线上的点，直线与椭圆分别交于点，求证：直线必过轴上的一定点，并求出此定点的坐标；
轴上的一定点，并求出此定点的坐标；（3）实际上，第（2）小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线，请你对抛物线
写出一个更一般的结论，并加以证明。
写出一个更一般的结论，并加以证明。23．（1）依题意，椭圆过点
，故
，解得
。………………………………………（3分）
，故，解得。………………………………………（3分） 椭圆
的方程为
。……………………………………………………………………………（4分）
的方程为。……………………………………………………………………………（4分） （2）
设
，直线
的方程为
，……………（5分）
，直线的方程为，……………（5分） 代入椭圆方程，得
，……（6分）
，……（6分）设
，则
，…（7分）
，则，…（7分）
，故点
的坐标为
。………（8分）同理，直线
的方程为
，代入椭圆方程，得
，
的方程为，代入椭圆方程，得，设
，则
，
。
，则，。可得点
的坐标为
。…………………………………………………………（10分）
的坐标为。…………………………………………………………（10分）①若
时，直线
的方程为
，与轴交于
点；
时，直线的方程为，与轴交于点；②若
，直线的方程为
，
，直线的方程为， 令
，解得。综上所述，直线必过轴上的定点。…………………………（12分）
，解得。综上所述，直线必过轴上的定点。…………………………（12分） （3）结论：已知抛物线
的顶点为
，
为直线
上一动点，过点作轴的平行线与抛物线交于点，直线
与抛物线交于点，则直线必过定点
。………（14分）
的顶点为，为直线上一动点，过点作轴的平行线与抛物线交于点，直线与抛物线交于点，则直线必过定点。………（14分） 证明：设
，则
，
，则，
直线的方程为
，代入
，得
，可求得
。…（16分）
的方程为，代入，得，可求得。…（16分） 直线的方程为
，
的方程为， 令，得
，即直线必过定点。……（18分）
，得，即直线必过定点。……（18分）
