(Ⅰ)求证： ;

(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值;

(Ⅲ)线段 上是否存在点 ，使 // 平面 ?若存在，求出 ;若不存在，说明理由.

17.(本小题满分13分)

甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的 道题中，甲答对其中每道题的概率都是 ，乙能答对其中的 道题.规定每次考试都从备选的 道题中随机抽出 道题进行测试，答对一题加 分，答错一题(不答视为答错)减 分，至少得 分才能入选.

(Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望;

(Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.

18.(本小题满分13分)

已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 ， 两点.

(Ⅰ)若 ，求直线 的斜率;

(Ⅱ)设点 在线段 上运动，原点 关于点 的对称点为 ，求四边形 面积的最小值.

19.(本小题满分14分)

已知函数 ，其中 .

(Ⅰ)当 时，求曲线 在原点处的切线方程;

(Ⅱ)求 的单调区间;

(Ⅲ)若 在 上存在最大值和最小值，求 的取值范围.

20.(本小题满分13分)

若 或 ，则称 为 和 的一个 位排列.对于 ，将排列 记为 ;将排列 记为 ;依此类推，直至 .

对于排列 和 ，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做 和 的相关值，记作 .例如 ，则 ， .

若 ，则称 为最佳排列.

(Ⅰ)写出所有的最佳排列 ;

(Ⅱ)证明：不存在最佳排列 ;

(Ⅲ)若某个 是正整数 为最佳排列，求排列 中 的个数.

北京市西城区2012年高三二模试卷

数学(理科)参考答案及评分标准

2012.5

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1.D; 2.D; 3.B; 4.A; 5.C; 6.C; 7.C; 8.D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. ; 10. ; 11. ， ;

12. ， 13. ， ; 14.① ② ③.

注：11、12、13第一问2分，第二问3分;14题少填不给分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.

15.(本小题满分13分)

(Ⅰ)解： . ………………5分

(Ⅱ)解： ………………7分

………………8分

. ………………9分

因为 ，所以 ， ………………10分

所以当 ，即 时， 取得最大值 . ………………11分

所以 ， 等价于 .

故当 ， 时， 的取值范围是 . ………………13分

16.(本小题满分14分)

(Ⅰ)证明：取 中点 ，连结 ， .

因为 ，所以 . ………………1分

因为四边形 为直角梯形， ， ，

所以四边形 为正方形，所以 . ……………2分

所以 平面 . ………………3分

所以 . ………………4分

(Ⅱ)解：因为平面 平面 ，且 ，

所以 平面 ，所以 .

由 两两垂直，建立所示的空间直角坐标系 . …………5分

因为三角形 为等腰直角三角形，所以 ，设 ，所以 .

所以 ，平面 的一个法向量为 . ………………7分

设直线 与平面 所成的角为 ，

所以 ，

即直线 与平面 所成角的正弦值为 . ………………9分

(Ⅲ)解：存在点 ，且 时，有 // 平面 . ………………10分

证明如下：由 ， ，所以 .

设平面 的法向量为 ，则有

所以 取 ，得 . ………………12分

因为 ，且 平面 ，所以 // 平面 .