即点 满足 时，有 // 平面 . ………………14分

17.(本小题满分13分)

(Ⅰ)解：设乙答题所得分数为 ，则 的可能取值为 .………………1分

; ;

; . ………………5分

乙得分的分布列如下：

………………6分

. ………………7分

(Ⅱ)由已知甲、乙至少答对 题才能入选，记甲入选为事件 ，乙入选为事件 .

则 ， ………………10分

. ………………11分

故甲乙两人至少有一人入选的概率 . ……13分

18.(本小题满分13分)

(Ⅰ)解：依题意 ，设直线 方程为 . ………………1分

将直线 的方程与抛物线的方程联立，消去 得 . …………3分

设 ， ，所以 ， . ① ………………4分

因为 ，

所以 . ② ………………5分

联立①和②，消去 ，得 . ………6分

所以直线 的斜率是 . ………………7分

(Ⅱ)解：由点 与原点 关于点 对称，得 是线段 的中点，从而点 与点 到直线 的距离相等，

所以四边形 的面积等于 . ……………… 9分

因为 ………………10分

， ………………12分

所以 时，四边形 的面积最小，最小值是 . ………………13分

19.(本小题满分14分)

(Ⅰ)解：当 时， ， . ………………2分

由 ， 得曲线 在原点处的切线方程是 .…………3分

(Ⅱ)解： . ………………4分

① 当 时， .

所以 在 单调递增，在 单调递减. ………………5分

当 ， .

② 当 时，令 ，得 ， ， 与 的情况如下：

故 的单调减区间是 ， ;单调增区间是 . ………7分

③ 当 时， 与 的情况如下：

所以 的单调增区间是 ;单调减区间是 ， .

………………9分

(Ⅲ)解：由(Ⅱ)得， 时不合题意. ………………10分

当 时，由(Ⅱ)得， 在 单调递增，在 单调递减，所以 在 上存在最大值 .

设 为 的零点，易知 ，且 .从而 时， ; 时， .

若 在 上存在最小值，必有 ，解得 .

所以 时，若 在 上存在最大值和最小值， 的取值范围是 .

………………12分

当 时，由(Ⅱ)得， 在 单调递减，在 单调递增，所以 在 上存在最小值 .

若 在 上存在最大值，必有 ，解得 ，或 .

所以 时，若 在 上存在最大值和最小值， 的取值范围是 .

综上， 的取值范围是 . ………………14分

20.(本小题满分13分)

(Ⅰ)解：最佳排列 为 ， ， ， ， ， . ………………3分

(Ⅱ)证明：设 ，则 ，

因为 ，

所以 ， ， ， ， 之中有 个 ， 个 .

按 的顺序研究数码变化，由上述分析可知有 次数码不发生改变，有 次数码发生了改变.

但是 经过奇数次数码改变不能回到自身，

所以不存在 ，使得 ，

从而不存在最佳排列 . ………………7分

(Ⅲ)解：由 或 ，得

，

，

……

，

.

因为 ，

所以 与每个 有 个对应位置数码相同，有 个对应位置数码不

同，因此有

，

，

……，

，

.

以上各式求和得， . ………………10分

另一方面， 还可以这样求和：设 中有 个 ， 个 ，则 .

………………11分

所以 解得 或

所以排列 中 的个数是 或 . ………………13分

【总结】2013年精品学习网为小编在此为您收集了此文章“高三数学期中考试题：理科”，今后还会发布更多更好的文章希望对大家有所帮助，祝您在精品学习网学习愉快!

更多精彩内容请点击：高中 > 高三 > 高三数学 > 高三数学试题