北京市房山区2012高三第一次模拟试题参考答案

高三数学(理科)

一、选择题(每题5分，共40分)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 C B B A C D B A

二、填空题(每题5分，共30分)

9. ; 10. ; 11. , ; 12. 120; 13. ;

14. ① ;② 或

三、解答题(写出必要的文字说明，计算或证明过程。共80分)

15.(本小题共13分)

解：(I)解

……………………5分

(II)由(I)知 ， ……………………7分

∴

∴ ……………………10分

∴

……………………13分

16.(本小题共13分)

解：(I)设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件 ，则

答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为 . ………………………4分

(II)解法1： 的所有取值为0，1，2，3，4.由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为 .所以 ………………………6分

; ;

; ;

. ………………………11分

随机变量 的分布列为：

0 1 2 3 4

………………………12分

所以 ……………………13分

解法2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为 . …………………5分

则随机变量 服从参数为4， 的二项分布，即 ～ .……………7分

随机变量 的分布列为：

0 1 2 3 4

所以 …………………13分

17.(本小题共14分)

(I) 证明：∵在直三棱柱 中， ，点 是 的中点，

∴ …………………………1分

, ,

∴ ⊥平面 ………………………2分

平面

∴ ，即 …………………3分

又

∴ 平面 …………………………………4分

(II)当 是棱 的中点时， //平面 .……………………………5分

证明如下:

连结 ,取 的中点H，连接 ,

则 为 的中位线

∴ ∥ ， …………………6分

∵由已知条件， 为正方形

∴ ∥ ，

∵ 为 的中点，

∴ ……………………7分

∴ ∥ ，且

∴四边形 为平行四边形

∴ ∥

又 ∵ ……………………8分

∴ //平面 ……………………9分

(III) ∵ 直三棱柱 且

依题意，：以 为原点建立空间直角坐标系 ，……………………10分

, , , ,

则 ，

设平面 的法向量 ，

则 ,即 ，

令 ，有 ……………………12分

又 平面 的法向量为 ，

= = ， ……………………13分

设二面角 的平面角为 ，且 为锐角

. ……………………14分

18.(本小题共13分)

解：(I)依题意，函数 的定义域为 ，

当 时， ，

……………………2分

由 得 ，即

解得 或 ，

又 ，

的单调递减区间为 . ……………………4分

(II) ，

(1) 时， 恒成立