20. (本小题满分14分)

已知圆C与两圆 ， 外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点 的距离的最小值为 ，点 与点 的距离为 .

(Ⅰ)求圆C的圆心轨迹L的方程;

(Ⅱ)求满足条件 的点 的轨迹Q的方程;

(Ⅲ)试探究轨迹Q上是否存在点 ，使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 。若存在，请求出点B的坐标;若不存在，请说明理由.

21.(本小题满分14分)

设函数 .

(Ⅰ)求函数 的单调区间;

(Ⅱ)若函数 有两个极值点 且 ，求证 .

肇庆市中小学教学质量评估

2012届高中毕业班第一次模拟试题

数 学(理科)参考

1C解析：由题意可知，

2C解析：集合 有 共8个

3D解析：由已知得

4C解析：函数 有零点， ，反之不然.

5A解析：∵ ,∴函数 是最小正周期为 的奇函数

6D解析： ，∵ ,

∴ ,解得 ,

7B解析:不等式组表示的平面区域所示.

角点坐标分别为 ,

8B解析:由题知不可能是曲边界的区域，如果边界为曲边区域，当向量 ，对任意正实数 所得的向量 不能再通过平移到原区域内，所以排除A、C、D，给出图像，易知B正确.

9解析： . ∵ ,∴ 或 (舍去).∴ ,或 .

10解析:45. 的通项为Tr+1= ，令40-5r=0,解得r=8，代入得常数项为 =45.

11解析：11. 由图知，成绩在 内的人数为： (人)

所以这次百米比赛中获奖的人数共有11人.

12解析:6. 由题知 即 ,解得

由椭圆的定义知△ABF2的周长为 .

13解: 用数形结合,设 ,则 表示经过点 的直线, 为直线的斜率.所以求 的取值范围就等价于求同时经过点 和圆上的点的直线中斜率的最大最小值.从图中可知,当过P的直线与圆相切时斜率取最大最小值，此时对应的直线斜率分别为 和 ，其中 不存在，由圆心 到直线 的距离 解得 ,所以 的取值范围是 .

14解析：1. 圆的直角坐标方程为 ，直线的直角坐标方程为 ，圆心到直线的距离 ，所以圆上一点直线的最小值等于

15解析：2. 由已知 得 ,在 中，

,所以 ,又由割线定理得 ,解得 .

16解：(Ⅰ)设 的公差为 ，由已知条件， ，(2分)

解得 ， .(4分)

所以 .(6分)

(Ⅱ)∵ ，∴

∴ (8分)

∴

(12分)

17解：(Ⅰ)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法.(3分)

(Ⅱ)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有： 人，

四川籍的有： 人，(4分)

设四川籍的驾驶人员应抽取 名，依题意得 ，解得

即四川籍的应抽取2名. (7分)

(Ⅲ) 的所有可能取值为0，1，2;(8分)

， ， ，(10分)

的分布列为：

0 1 2

(11分)

均值 .(13分)

18解：(Ⅰ)由 ，即

得 (2分)

∵ ，∴ (4分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

∵ ，∴ (5分)

∴ (6分)

∴ (7分)

∴

(9分)

(Ⅲ)∵ ， (10分)

设向量 与 所成的角为 ，则 (11分)

∴

(13分)

19解：(方法一)(Ⅰ) ∵ 是斜三棱柱, ∴ 平面 ，

故侧棱B1B在平面 上的正投影的长度等于侧棱 的长度.(2分)

又 ,故侧棱 在平面 的正投影的长度等于 . (3分)

(Ⅱ)证明： ∵ ， ，∴

∴三角形 是等腰直角三角形，(5分)

又D是斜边AC的中点，∴ (6分)