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高三数学下学期期中考试:测试题

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2013-04-08

17.(本小题满分12分)

学校艺术节举行学生书法、绘画、摄影作品大赛,某同学有A(书法)、B(绘画)、C(摄影)三件作品准备参赛,经评估,A作品获奖的概率为 ,B作品获奖的概率为 ,C作品获奖的概率为

(1)求该同学至少有两件作品获奖的概率;

(2)记该同学获奖作品的件数为 的分布列和数学期望。

18.(本小题满分12分)

,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4,点P从B点出发,在正方形BCC1B1的边上按逆针方向按如下规律运动:设第n次运动的路程为 ,且 ,第n次运动后P点所在位置为 ,回到B点后不再运动。

(1)求二面角 的余弦值;

(2)是否存在正整数i、j,使得直线 与平面ACD1平行?若存在,找出所有符合条件的 ,并给出证明;若不存在,请说明理由。

19.(本小题满分13分)

,2012年春节,摄影爱好者S在某公园A处,发现正前方B处有一立柱,测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为 ,已知S的身高约为 米(将眼睛距地面的距离按 米处理)

(1)求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度;

(2)立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转。摄影者有一视角范围为 的镜头,在彩杆转动的任意时刻,摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面?说明理由。

20.(本小题满分13分)

,抛物线 的焦准距(焦点到准线的距离)与椭圆 的长半轴相等,设椭圆的右顶点为A,C1、C2在第一象限的交点为B,O为坐标标原点,且 的面积为

(1)求椭圆C2的标准方程;

(2)过A点作直线 交C1于C、D两点,射线OC、OD分

别交C2于E、F两点。

(I)求证:O点在以EF为直径的圆的内部;

(II)记 的面积分别为S1,S2,问是否存在直线 ,

使得 ?请说明理由。

21.(本小题满分13分)

已知函数 ,其中a为实常数。

(1)若 在区间(1,2)上单调递减,求实数a的取值范围;

(2)当a=-2时,求证: 有3个零点;

(3)设 为 在 处的切线,若“ ”,则称 为 的一个优美点,是否存在实数a,使得 是 的一个优美点?说明理由。

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